Integrale
Salve volevo sapere come si risolve questo integrale, trovare l'area della porzione di cilindro $sqrt(1-x^2)$ sovrastante il cerchio unitario.L'ho messo in coordinate polari con la quale gli estremi di integrazione sono già messi ovvero fra $0$ e $2pi$ e $rho$ fra 0 e 1.Però non so come fare l'integrale visto che mi diventa $int_s(sqrt(1-rho^2 * cos^2(theta)))rho*drho*d(theta)$ e non so come fare penso si debba fare tipo una sostituzione con l'$arcsin$ ma non so come fare grazie.
Risposte
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Sinceramente non si capisce cosa tu debba fare, perché quello che scrivi sembra tutto tranne che un cilindro (\(\sqrt{1-x^2}\), al variare di \(x\), è un numero!).
Potresti riportare ordinatamente il testo dell'esercizio?
Potresti riportare ordinatamente il testo dell'esercizio?
L'Area della porzione di cilindro $ sqrt(1-x^2) $sovrastante il cerchio unitario è:
a)$3sqrt5$
b)N.A
c)$4$
d)non definita
e)$2pi/3$
a)$3sqrt5$
b)N.A
c)$4$
d)non definita
e)$2pi/3$
Continuo a non capire il testo: cos'è il "cilindro \(\sqrt{1-x^2}\)"??? Per caso vuol dire il cilindroide relativo alla funzione \(f(x,y)=\sqrt{1-x^2}\)?
Da dove è preso il problema?
Da dove è preso il problema?
Si ho tralasciato la parte f(x,y)= era relativo a quello la parte di cilindro f(x,y)= ecc
Allora penso non ti serva a nulla passare in polari...
Il problema è che comunque non so come fare questo integrale perchè non ho la derivata dell'argomento fuori dalla radice e non so come rigirarla...
Ok ho provato senza usare le coordinate polari ma non mi torna ho messo gli estremi di integrazione $ x$ da $-1$ a
$1 $ e y tra $ -sqrt(1-x^2) $e $ sqrt(1-x^2) $ dove sbaglio?
$1 $ e y tra $ -sqrt(1-x^2) $e $ sqrt(1-x^2) $ dove sbaglio?
Dato che il testo non mi è del tutto chiaro, tento di indovinare: secondo me si vuole calcolare l'area della parte \(S\) della superficie cilindrica di equazione \(x^2+z^2=1\) situata nel semispazio \(z\geq 0\) che si proietta nel cerchio unitario \(B(o;1)\) del piano \(Oxy\).
In quest'ottica, l'integrale da calcolare è un integrale di superficie.
Dato che per \(z\geq 0\) l'equazione del cilindro si esplicita in funzione di \(z\) come \(z=\sqrt{1-x^2}=:f(x,y)\), la superficie assegnata si parametizza in maniera canonica come grafico di una funzione:
\[
\begin{cases}
x=u\\
y=v\\
z=\sqrt{1-u^2}
\end{cases}\qquad \text{, con } u^2+v^2\leq 1\; ;
\]
conseguentemente:
\[
\begin{split}
\operatorname{area} (S) &= \int_{B(o;1)} \sqrt{1+f_x^2(u,v) + f_y^2(u,v)}\ \text{d} u\text{d} v\\
&= \int_{B(o;1)} \sqrt{1 + \frac{u^2}{1-u^2}}\ \text{d} u\text{d} v\\
&= \int_{B(o;1)} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\ \text{d} u\text{d} v\; .
\end{split}
\]
L'ultimo integrale si calcola senza alcun patema in coordinate cartesiane.
In quest'ottica, l'integrale da calcolare è un integrale di superficie.
Dato che per \(z\geq 0\) l'equazione del cilindro si esplicita in funzione di \(z\) come \(z=\sqrt{1-x^2}=:f(x,y)\), la superficie assegnata si parametizza in maniera canonica come grafico di una funzione:
\[
\begin{cases}
x=u\\
y=v\\
z=\sqrt{1-u^2}
\end{cases}\qquad \text{, con } u^2+v^2\leq 1\; ;
\]
conseguentemente:
\[
\begin{split}
\operatorname{area} (S) &= \int_{B(o;1)} \sqrt{1+f_x^2(u,v) + f_y^2(u,v)}\ \text{d} u\text{d} v\\
&= \int_{B(o;1)} \sqrt{1 + \frac{u^2}{1-u^2}}\ \text{d} u\text{d} v\\
&= \int_{B(o;1)} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\ \text{d} u\text{d} v\; .
\end{split}
\]
L'ultimo integrale si calcola senza alcun patema in coordinate cartesiane.
Guarda per completezza ti linko cmq il testo è il primo es http://alan.dma.unipi.it/miei/scritti/2014-1-29_AN.pdf
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