Integrale

[87Fra87]

Come si calcola il seguente integrale:

$ int_(1)^(4) log(sqrt(x) + 1) dx $

come prima cosa ho proceduto per parti quindi diventa così:

$ x(log(sqrt(x) + 1))- (1/2)int1/(sqrtx (sqrtx +1)x $

poi procedo per sostituzione e diventa cosi:

$ -int1/((t +1)t^2) $

il problema è che questo non riesco a scomporlo
la scomposizione è così:

$ (A/(t+1))+(B/t)+((Ct+D)/(t^2)) $
oppure
$ (A/(t+1))+((Bt+C)/(t^2)) $

[Brancaleone1]

Mmh come hai svolto la sostituzione?
EDIT: ricorda di inserire anche $text(d)x$ e $text(d)t$

[87Fra87]

la sostituzione lo fatta così:

$ sqrtx = t rArr x = t^2 $
poi ho calcolato dx:

$ d(x) = 2tdt $

[asker993]

io proverei a sostituire sin dall'inizio $sqrt(x)=t$...prova..se non ne esci col tuo metodo...

[Brancaleone1]

E come fa a venirti così? Controlla meglio

EDIT: piccolo input

$sqrtx=t$

$=>dt=...$

[87Fra87]

Ciao ma quale delle due scomposizioni è corretta per il seguente integrale:

$ -int1/((t +1)t^2) $

N1) $ (A/(t+1))+(B/t)+((Ct+D)/(t^2)) $
N2) $ (A/(t+1))+((Bt+C)/(t^2)) $
Di regola non è coretta la N1 ?

Edit: la sostituzione è corretta.....

[asker993]

dici a me branca? Comunque mi verrebbe così a me con quella sostituzione (faccio vedere solo la prima parte):$2int_(1)^(4) log((t) + 1)t dt $ poi per parti verrebbe (edit:devi moltiplicare per 2) $(t^(2)log(t+1)/2)-(1/2)(int t^2/(t+1)dt)$ poi aggiungerei $+-1$ al numeratore e il resto vien da se...o sbaglio qualcosa?

[Brancaleone1]

"asker993":dici a me branca? Comunque mi verrebbe così a me con quella sostituzione (faccio vedere solo la prima parte):$2int_(1)^(4) log((t) + 1)t dt $ poi per parti verrebbe $(t^(2)log(t+1)/2)-(1/2)(int t^2/(t+1)dt)$ poi aggiungerei $+-1$ al numeratore e il resto vien da se...o sbaglio qualcosa?

No stavo rispondendo a 87Fra87

Per quanto riguarda il tuo procedimento... eh non torna. Se sostituisci sin dall'inizio la sostituzione $sqrtx=t$ non funziona (anche qui: quanto vale $text(d)t$?). Per parti come ha cominciato 87Fra87 va più che bene.

[Brancaleone1]

"87Fra87":Ciao ma quale delle due scomposizioni è corretta per il seguente integrale:

$ -int1/((t +1)t^2) $

N1) $ (A/(t+1))+(B/t)+((Ct+D)/(t^2)) $
N2) $ (A/(t+1))+((Bt+C)/(t^2)) $
Di regola non è coretta la N1 ?

No, è corretta la N2.

"87Fra87":Edit: la sostituzione è corretta.....

...Potresti farmi vedere i passaggi? Non può venirti

"87Fra87": $ -int1/((t +1)t^2) $

[87Fra87]

la mia sostituzione penso sia corretta in quanto $sqrtx = t rArr x = t^2$ quindi $dt = $la derivata di x per dt giusto?

[87Fra87]

Ho aggiornato il primo post mancava una x nell'integrale comunque una volta sostituito diventa come ho scritto al primo post. Quindi N2 è corretto?

[Brancaleone1]

"87Fra87":la mia sostituzione penso sia corretta in quanto $sqrtx = t rArr x = t^2$ quindi $dt = $la derivata di x per dt giusto?

No
Il ragionamento corretto è

$sqrtx=t$

$text(d)t=D[sqrtx]text(d)x=(text(d)x)/(2sqrtx)$

Ora, andando a sostituire...

[asker993]

no scusa branca ma il mio procedimento porta al risultato corretto, controlla meglio devi calcolare che devi moltiplicare per 2 a tutti i membri...

[Brancaleone1]

@87Fra87: L'integrale in realtà deve venirti:

$int_1^4 ln(sqrtx+1)text(d)x=[xln(sqrtx+1)]_1^4-int_1^4 x/(2sqrtx(sqrtx+1))text(d)x$

che con la sostituzione $text(d)t=(text(d)x)/(2sqrtx)$ diventa:

$[xln(sqrtx+1)]_1^4-int_1^2 t^2/(t+1)text(d)t=[xln(sqrtx+1)]_1^4-int_1^2 (t-1+1/(t+1))text(d)t$

@asker993: ok mi viene:

$int_1^4 ln(sqrtx+1)text(d)x=2int_1^2 t ln(t+1)text(d)t=[t^2ln(t+1)]_1^2-int_1^2 t^2/(t+1)text(d)t$

Mi hai confuso dicendomi che devo moltiplicare per 2 (perché?): in più non avevo visto la $t$ dopo il logaritmo XD
Ad ogni modo gli estremi di integrazione sono $1$ e $2$, non $pm1$: infatti

$[sqrtx]_1=1=>t=1$

$[sqrtx]_4=2=>t=2$

[asker993]

nono, intendevo dire aggiungere $+-1$ al numeratore per ricordursi ad una forma del tipo $(t^(2)-1)/(t+1) +1/(t+1)$ per semplificare ancora di più l'ultimo pezzo dell'integrale

[Brancaleone1]

Ah ok, va benissimo

[87Fra87]

@Brancaleone grazie ecco dove sbagliavo nella moltiplicazione per parti mettevo la x al denominatore invece di metterla al numeratore.

Una domanda nella scomposizione supponiamo di avere il seguente integrale:

$int1/((x +1)x^2) $

perchè la scomposizione diventa così:

$ (A/(x+1))+((Bx+C)/(x^2)) $

invece di diventare così:
$ (A/(x+1))+(B/x)+((Cx+D)/(x^2)) $
Il mio dubbio sulla scomposizione non si prende anche la x di grado uno?

[Brancaleone1]

La "regola" prevede che i fattori del denominatore vengano raccolti in denominatori distinti, senza ripetere o aggiungere null'altro, mentre al numeratore si scrive un polinomio di un grado inferiore al rispettivo denominatore. La forma

$A/(x+1)+(Bx+C)/x^2$

per l'integrale che hai portato a esempio è quindi giusta, mentre la forma

$A/(x+1)+B/x+(Cx+D)/x^2$

può andare bene se la frazione fosse ad esempio

$1/(x^2*x*(x+1))=1/(x^3(x+1))$

ricollegabile tra l'altro alla forma

$(Ax^2+Bx+C)/x^3+D/(x+1)$