Integrale

[D4lF4zZI0]

Salve, dovrei risolvere questo integrale:

$ int_(-oo )^(+oo) sin(x)e^(-x^2) dx $

qualcuno mi può aiutare?
Grazie

[21zuclo]

uhm idee tue? posta qualche tuo tentativo giusto o sbagliato che sia.

Ti do un piccolo suggerimento (almeno io farei così)

$\int_(-\infty)^(+\infty) f(x) dx=\int_(-\infty)^(0)f(x)dx+\int_(0)^(+\infty)f(x)dx$

[Quinzio]

E' una funzione dispari, dunque $f(x)=-f(-x)$, quindi....

[D4lF4zZI0]

Il problema è che quell'integrale è la versione semplificata di quest'ultimo:

$ int_(-oo )^(+oo) sen(xi )e^(-(x-xi )^2/(4t))/(2sqrt(pi t)) d xi $

che è la soluzione del seguente problema dei valori iniziali per l'equazione del calore:

$ { ( (partial u)/(partial t) - (partial^2 u)/(partial x^2)=0 ),( u(x,0)=sen(x) ):} $

la cui soluzione, come facilmente si può verificare, vale:

$ u(x,t)=e^-tsen(x) $

Come faccio, però, a dimostrare che:

$ e^-tsen(x)=int_(-oo )^(+oo) sen(xi )e^(-(x-xi )^2/(4t))/(2sqrt(pi t)) d xi $

Spero che a qualcuno di voi venga in mente qualcosa...io ho già provato a trasformare il seno in forma esponenziale, ma la cosa non migliora ed al momento non riesco a trovare un'altra strada