Integrale
Ciao a tutti. Sto studiando Statistica e nello studio delle variabili aleatorie, lo svolgimento di un esercizio
da per scontato questo integrale
$\int_{-infty}^{infty} 1/(2*pi) * exp(-(x^2)/2)dx = 1$
Qualcuno potrebbe darmi una spiegazione, oppure una traccia per poter dimostrare questo risultato?
Grazie
da per scontato questo integrale
$\int_{-infty}^{infty} 1/(2*pi) * exp(-(x^2)/2)dx = 1$
Qualcuno potrebbe darmi una spiegazione, oppure una traccia per poter dimostrare questo risultato?
Grazie
Risposte
Si ponga
\[
I := \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx < \infty,
\]
giacchè \( f(x) := e^{-\frac{x^2}{2}} \in L^1({\mathbb{R}}) \). Allora il Teorema di Fubini assicura che
\[
\begin{split}
I^2 &= \bigg ( \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx \bigg ) \bigg ( \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy \bigg ) \\
&= \int_{\mathbb{R}^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \, dxdy...
\end{split}
\]
A questo punto, risolvi l'ultimo integrale passando in coordinate polari piane... Cosa ottieni?
P.S.: Hai mancato una radice. La formula corretta è
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\bigg (-\frac{x^2}{2}\bigg) \, dx = 1.
\]
\[
I := \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx < \infty,
\]
giacchè \( f(x) := e^{-\frac{x^2}{2}} \in L^1({\mathbb{R}}) \). Allora il Teorema di Fubini assicura che
\[
\begin{split}
I^2 &= \bigg ( \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx \bigg ) \bigg ( \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy \bigg ) \\
&= \int_{\mathbb{R}^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \, dxdy...
\end{split}
\]
A questo punto, risolvi l'ultimo integrale passando in coordinate polari piane... Cosa ottieni?
P.S.: Hai mancato una radice. La formula corretta è
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\bigg (-\frac{x^2}{2}\bigg) \, dx = 1.
\]
Grazie. Si, avevo dimenticato un pezzo.
Ora provo a risolvere il tuo integrale in coordinate polari
Ora provo a risolvere il tuo integrale in coordinate polari
Propongo la dimostrazione che studiai qualche tempo fa, che non fa uso di integrali doppi:
Intanto si può osservare che, posto \(F(x)= \int_0^x e^{-t^2} \, dt\), si ha che \(\lim_{x \to +\infty} F(x)=l\) (questo fatto discende per confronto: infatti certamente in un intorno di \(+\infty\) vale \(e^{-t^2} \le n/t^2\) per qualche costante \(n\)). Si consideri quindi la funzione \[G(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x^2 (1+t^2)}}{1+t^2} \, dt\]
per il teorema di derivabilità degli integrali dipendenti da parametro si ottiene \[G'(x)=\int_0^1 \frac{\partial_x e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=-2x e^{-x^2} \int_0^1 e^{-x^2 t^2} \, dt \]
Un cambiamento di variabile \(xt=u\) porta ad ottenere \[\int_0^1 e^{-x^2 t^2} \, dt = \frac{1}{x} \int_0^x e^{-u^2} \, du\] e quindi è \[G'(x)= -2 e^{-x^2} \int_0^x e^{-u^2} \, du \]
donde risulta che \(G'(x)= -\frac{d}{dx}F^2(x)\); quindi sarà \(G(x)=c-F^2(x)\), con \(c\) costante.
Si noti ora che \[G(0) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} \, dt = \frac{\pi}{4} \] e quindi \(c=\pi/4\) dal momento che \(F(0)=0\); per \(x \to +\infty\) si ha invece che \(G(x) \to 0\) visto che \[0 \le G(x) = e^{-x^2} \int_0^1 \frac{e^{-x^2 t^2}}{1+t^2} \, dt \le e^{-x^2} \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} \, dt = \frac{\pi}{4} e^{-x^2} \]
Per concludere si osservi che \[\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi}{4} - F^2 (x)=0\] cioè \[\frac{\pi}{4} - l^2=0 \quad \Longrightarrow \quad l =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \]
Intanto si può osservare che, posto \(F(x)= \int_0^x e^{-t^2} \, dt\), si ha che \(\lim_{x \to +\infty} F(x)=l\) (questo fatto discende per confronto: infatti certamente in un intorno di \(+\infty\) vale \(e^{-t^2} \le n/t^2\) per qualche costante \(n\)). Si consideri quindi la funzione \[G(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x^2 (1+t^2)}}{1+t^2} \, dt\]
per il teorema di derivabilità degli integrali dipendenti da parametro si ottiene \[G'(x)=\int_0^1 \frac{\partial_x e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=-2x e^{-x^2} \int_0^1 e^{-x^2 t^2} \, dt \]
Un cambiamento di variabile \(xt=u\) porta ad ottenere \[\int_0^1 e^{-x^2 t^2} \, dt = \frac{1}{x} \int_0^x e^{-u^2} \, du\] e quindi è \[G'(x)= -2 e^{-x^2} \int_0^x e^{-u^2} \, du \]
donde risulta che \(G'(x)= -\frac{d}{dx}F^2(x)\); quindi sarà \(G(x)=c-F^2(x)\), con \(c\) costante.
Si noti ora che \[G(0) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} \, dt = \frac{\pi}{4} \] e quindi \(c=\pi/4\) dal momento che \(F(0)=0\); per \(x \to +\infty\) si ha invece che \(G(x) \to 0\) visto che \[0 \le G(x) = e^{-x^2} \int_0^1 \frac{e^{-x^2 t^2}}{1+t^2} \, dt \le e^{-x^2} \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} \, dt = \frac{\pi}{4} e^{-x^2} \]
Per concludere si osservi che \[\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi}{4} - F^2 (x)=0\] cioè \[\frac{\pi}{4} - l^2=0 \quad \Longrightarrow \quad l =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \]
Fantastico! Grazie Delirium !!
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