Integrale
Ragazzi non riesco a risolvere questo integrale...qualcuno sa farlo?
$\int_{0}^{+infty} a*x^alpha *e^(-x/beta ) dx=1$
$ 0<= x<+infty $
Devo ricavare a.
Grazie anticipatamente!
$\int_{0}^{+infty} a*x^alpha *e^(-x/beta ) dx=1$
$ 0<= x<+infty $
Devo ricavare a.
Grazie anticipatamente!
Risposte
in pratica mi sa che devi ottenere la densita di una variabile aleatoria Gamma, devi impostarlo come se lo risolvessi per parti e cercare di capire cosa succede per $alpha$ e $beta$ generici
ciao, guardando questo esercizio mi è venuta un'idea, ma non so se è corretta, bisognerebbe provare..
questo è un integrale improprio $\int_(a)^(+\infty) f(t)dt$
e l'integrale su un dominio di integrazione illimitato è definito come il limite di integrali su intervalli limitati
$\int_(a)^(+\infty)f(t)dt=\lim_{b\to +\infty}\int_(a)^(b)f(t)dt$
poi io mi ricordo che a lezione il nostro prof ci aveva dato questa formula, però non l'aveva dimostrata, ci aveva detto che dovevamo fidarci
$\int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt=f(\beta(x))\beta ' (x)-f(\alpha (x))\alpha ' (x)$
poi ci aveva fatto un esempio dove, poterla utilizzare, ci aveva detto
$\lim_(x\to x_0)(\int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt)/(x)= H=\lim_(x\to x_0) f(\beta(x))\beta ' (x)-f(\alpha (x))\alpha ' (x)$
dove $H$, sta per Hopital..
in questo caso io userei il procedimento che ho descritto, ma ripeto è solo un'idea, non so se funzioni e non so se sia esatto in questo caso.
questo è un integrale improprio $\int_(a)^(+\infty) f(t)dt$
e l'integrale su un dominio di integrazione illimitato è definito come il limite di integrali su intervalli limitati
$\int_(a)^(+\infty)f(t)dt=\lim_{b\to +\infty}\int_(a)^(b)f(t)dt$
poi io mi ricordo che a lezione il nostro prof ci aveva dato questa formula, però non l'aveva dimostrata, ci aveva detto che dovevamo fidarci
$\int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt=f(\beta(x))\beta ' (x)-f(\alpha (x))\alpha ' (x)$
poi ci aveva fatto un esempio dove, poterla utilizzare, ci aveva detto
$\lim_(x\to x_0)(\int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt)/(x)= H=\lim_(x\to x_0) f(\beta(x))\beta ' (x)-f(\alpha (x))\alpha ' (x)$
dove $H$, sta per Hopital..
in questo caso io userei il procedimento che ho descritto, ma ripeto è solo un'idea, non so se funzioni e non so se sia esatto in questo caso.
Beh, hai:
\[
a= \left( \int_0^\infty x^\alpha\ e^{-x/\beta}\ \text{d} x\right)^{-1}
\]
con l'integrale a secondo membro che esiste finito e positivo solo se \(\alpha >-1,\ \beta >0\).
In particolare, hai:
\[
\begin{split}
\int_0^\infty x^\alpha\ e^{-x/\beta}\ \text{d} x &\stackrel{t=x/\beta}{=} \int_0^\infty \left( \beta\ t\right)^\alpha\ e^{-t}\ \beta\ \text{d} t\\
&= \beta^{\alpha +1}\ \int_0^\infty t^\alpha\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&= \beta^{\alpha +1}\ \Gamma (\alpha +1)\; ;
\end{split}
\]
ergo:
\[
a=\frac{1}{\beta^{\alpha +1}\ \Gamma (\alpha +1)}
\]
\[
a= \left( \int_0^\infty x^\alpha\ e^{-x/\beta}\ \text{d} x\right)^{-1}
\]
con l'integrale a secondo membro che esiste finito e positivo solo se \(\alpha >-1,\ \beta >0\).
In particolare, hai:
\[
\begin{split}
\int_0^\infty x^\alpha\ e^{-x/\beta}\ \text{d} x &\stackrel{t=x/\beta}{=} \int_0^\infty \left( \beta\ t\right)^\alpha\ e^{-t}\ \beta\ \text{d} t\\
&= \beta^{\alpha +1}\ \int_0^\infty t^\alpha\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&= \beta^{\alpha +1}\ \Gamma (\alpha +1)\; ;
\end{split}
\]
ergo:
\[
a=\frac{1}{\beta^{\alpha +1}\ \Gamma (\alpha +1)}
\]
"gugo82":
\[
\begin{split}
\int_0^\infty x^\alpha\ e^{-x/\beta}\ \text{d} x &\stackrel{t=x/\beta}{=} \int_0^\infty \left( \beta\ t\right)^\alpha\ e^{-t}\ \beta\ \text{d} t\\
&= \beta^{\alpha +1}\ \int_0^\infty t^\alpha\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&= \beta^{\alpha +1}\ \Gamma (\alpha +1)\; ;
\end{split}
\]
ergo:
\[
a=\frac{1}{\beta^{\alpha +1}\ \Gamma (\alpha +1)}
\]
@gugo82
scusa l'ignoranza ma che funzione è $\Gamma(\alpha+1)$, giuro che non l'ho mai vista a lezione. È l'unica cosa che non ho capito
Quella è la cosiddetta funziona gamma (di Eulero) che si definisce ponendo:
\[
\Gamma (x):= \int_0^\infty t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t
\]
per \(x>0\).
La \(\Gamma\) è una delle cosiddette funzioni speciali, giacché non è elementare (perché si può esprimere in forma chiusa usando combinazioni di funzioni elementari) e tuttavia la si incontra sovente in problemi di Matematica applicata e no.
Una delle proprietà interessanti della \(\Gamma\) è che:
\[
\Gamma (x+1)=x\ \Gamma (x)\; ,
\]
(per la dimostrazione: integrare per parti!) da cui segue che:
\[
\Gamma (n+1)=n!
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\). Perciò \(\Gamma\) è una sorta di prolungamento a \(]0,\infty[\) della funzione fattoriale definita in \(\mathbb{N}\).
Altre informazioni le trovi su WIKIpedia.
\[
\Gamma (x):= \int_0^\infty t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t
\]
per \(x>0\).
La \(\Gamma\) è una delle cosiddette funzioni speciali, giacché non è elementare (perché si può esprimere in forma chiusa usando combinazioni di funzioni elementari) e tuttavia la si incontra sovente in problemi di Matematica applicata e no.
Una delle proprietà interessanti della \(\Gamma\) è che:
\[
\Gamma (x+1)=x\ \Gamma (x)\; ,
\]
(per la dimostrazione: integrare per parti!) da cui segue che:
\[
\Gamma (n+1)=n!
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\). Perciò \(\Gamma\) è una sorta di prolungamento a \(]0,\infty[\) della funzione fattoriale definita in \(\mathbb{N}\).
Altre informazioni le trovi su WIKIpedia.
Grazie a tutti per la collaborazione...non conoscevo la legge gamma e non riuscivo ad uscirmene! 
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