Integrale

[alexscard]

Ciao, non capisco questo passaggio fatto così direttamente.. ci sono passaggi omessi in mezzo o si può direttamente ricavare così l'integrale? Se è la seconda ipotesi, secondo quale regola? grazie.

[Obidream]

La regola generale è la solita:

$int f'(x)*f(x)^\alpha=f(x)^(\alpha+1)/(\alpha+1)$, dove $\alpha!=-1$

Nel tuo caso, moltiplico e divido per $-2$ per avere la derivata della funzione sotto radice ed usare la formula:

$2*-1/2*int (-2t)*(1-t^2)^(1/2)dt$

[lordb]

Ciao,

aggiungo due cosette generali.

$int 1/(sqrt(1-t^2))*2tdt=-int 1/(sqrt(1-t^2))*-2tdt=-int (1-t^2)^(-1/2)*-2tdt=-(1-t^2)^(-1/2+1)/(-1/2+1)+c_(in RR)$

Dove si è sfruttato che: se $f:RR->RR$ continua, $phi:RR->RR$ derivabile, $F:RR->RR$ primitiva di $f$:

$int f(phi(x))*phi'(x)dx=F(phi(x)) + c_(in RR)$

Dim:

$(F(phi(x)))'=F'(phi(x))*phi'(x)=f(phi(x))phi'(x)$, dunque $F(phi(x))$ è una primitiva di $f(phi(x))phi'(x)$.

[alexscard]

ah cavolo perchè la formula vale per la derivata di f(x), non di f(x)^a ...

ok grazie, nel frattempo ecco un nuovo dubbio:

[Noisemaker]

divisione tra polionomi! ha diviso il numeratore col denominatore

[alexscard]

mm già(a parte che dovrebbe essere 3t^2 e non 9t^2, ma quello è un errore di calcoli che avevo già trovato)

comunque, di solito quando in un integrale il numeratore è di grado maggiore del denominatore si procede sempre per divisione tra N/D come in questo caso.. giusto?

[Brancaleone1]

Sì

[alexscard]

non capisco perchè la funzione integrale NON esiste per x>3, il problema non sta solo in x=3 ?

[Brancaleone1]

L'integrale agisce sull'intervallo $[1,x]$.
Il dominio dell'integranda è $(-oo,3) cup (3, +oo)$.
In $t=3$ c'è un "ostacolo" che l'integrale non può "scavalcare", quindi poiché ha un estremo fissato in $1$ deve finire prima di tale ostacolo e perciò il dominio è solo $(-oo,3)$, dove si trova l'estremo $1$.