Integrale

[Mrs92]

forse mi sono un pò arrugginito ma non mi vengono idee su come fare questo integrale, non so nemmeno se sia banale o meno...

$f = int_0^a dx/(x^2 + y^2)^(3/2)$

con y costante qualsiasi...

[theras]

Ed allora,tralsciato il caso(banalmente integrabile..)$y=0$,metti quella $y^2$ in evidenza e poni $t=1/y*x$:
dopo di che ricorda il metodo classico(ed un pò "contoso",ohibò..)per integrare funzioni del tipo $f(t,sqrt(t^2+1))$.
Saluti dal web.

[Mrs92]

OK ottengo

$int_0^a dt/(y^2*(t^2 + 1)^(3/2))$

Ma non so come continuare, non so a cosa punti...

[theras]

Scrivi quel $(t^2+1)^(3/2)$ come $(t^2+1)sqrt(t^2+1)$,e poi poni $sqrt(t^2+1)=z+t$:
quadrando e lavorando nel modo che i conti ti suggeriranno,potrai esprimere $t$ in funzione di $z$,
ed il resto(sebbene un pò lentamente..)dovrebbe venirti da sè..
Scusami da ora se non ti risponderò ad ulteriori eventuali dubbi,che devo scappare:
se nessuno lo farà,vedrò di pensarci domani..
Saluti dal web.

[gugo82]

Nel seguito, per un fatto puramente notazionale, chiamo \(\sigma\) l'esponente al denominatore del tuo integrale.

Come notato, se \(y=0\) l'integrale è banale.
Se \(y> 0\) allora hai:
\[
\begin{split}
I &=\int (x^2+y^2)^{-\sigma /2}\ \text{d} x \\
&= \mathfrak{I}(0,2,-\sigma /2; 1,y^2)
\end{split}
\]
ove \(\mathfrak{I}(p,q,s; a,b) = \int x^p (ax^r+b)^s \text{d} x\) è l'integrale binomio; per un notevolissimo teorema di Tchebichev, l'integrale è razionalizzabile se e solo se o \( s= -\sigma /2\) è intero o \(s+(p+1)/r = (1-\sigma)/2\) è intero; ma ciò equivale a dire che l'integrale è razionalizzabile solo se o \(\sigma\) è intero.
Negli altri casi, l'integrale non è calcolabile elementarmente.

[Mrs92]

OK grazie, questo in realtà era un pezzo di un problema di elettrostatica e non mi tornavano i conti del professore. Come supponevo ha fatto un piccolo errore.
Grazie.

[theras]

@Gugo.
Da qualche parte,in un passato molto prossimo,
avevi già trattato questo argomento col tuo consueto stile appena appena esaustivo :
dato però che
"Cercare nei tuoi post passati di Domenica mattina"$hArr$"Aprire un'Enciclopedia della Matematica senza l'indice",
puoi aggiungere il thread in questione,che probabilmente ricorderai,per completezza e vantaggio degli eventuali lettori di questo?
Te lo chiedo perchè,a quanto pare,
quello sugli integrali binomi è ormai un argomento spesso trascurato,ingiustamente e pericolosamente,
in molti corsi di Analisi(sopratutto,cosa ancor più grave data la loro importanza pratica,di Ingegneria ):
ed allora provo a far leva sulla tua piccolissima passione per la divulgazione della Cultura Scientifica ..
Saluti dal web.

[Noisemaker]

Quando la funzione integranda è del tipo
$$\displaystyle\int x^m\left(ax^n+b\right)^p\,\,dx
$$
dove $a, b$ sono costanti qualunque e $m,n,p$ sono numeri razionali (positivi o negativi), è stato dimostrato dal matematico Cebicef, che l'integrale differenziale binomio si razionalizza soltanto nei seguenti tre casi:

[*:1g5dy8o1] se $p$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
x=t^k,\qquad \text{dove $k$ è il m.c.m.dei denominatori di $m$ ed $n;$}
\end{align}[/*:m:1g5dy8o1]
[*:1g5dy8o1]se $\frac{m+1}{n}$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
ax^n+b=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align}[/*:m:1g5dy8o1]
[*:1g5dy8o1] se $\frac{m+1}{n}+p$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
\frac{ax^n+b}{x^n}=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align}[/*:m:1g5dy8o1][/list:u:1g5dy8o1]

Esempio
Calcolare l'insieme delle primitive di:$ \int \sqrt{ \frac{x}{x^3-1}} \,\,dx. $

Possiamo scrivere la funzione integranda come
\begin{align*}
&\int x^{\frac{1}{2}}\left( x^3-1\right)^{-\frac{1}{2}}\,\,dx,\\
&m= \frac{1}{2}, n=3, p=-\frac{1}{2}, \quad\Rightarrow \quad\frac{m+1}{n}+p= \frac{\frac{1}{2}+1}{ 3 }-\frac{1}{2}=0\in\mathbb{Z}, \\
&\text{dunque ponendo $\frac{ x^3-1}{x^3}=t^2, $ si ha}\quad x=(1-t^2)^{-\frac{1}{3}},\quad dx=\frac{2t}{3}(1-t^2)^{-\frac{4}{3}},\quad x^3-1=\frac{t^2}{1-t^2}
\end{align*}
quindi:
\begin{align*}
\int x^{\frac{1}{2}}\left( x^3-1\right)^{-\frac{1}{2}}\,\,dx, = \frac{2}{3}\int \frac{1}{1-t^2}\,\,dt =\frac{1}{3}\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|=\frac{1}{3}\ln\left|\frac{\sqrt{x^3 }+\sqrt{x^3-1}}{\sqrt{x^3 }-\sqrt{x^3-1}}\right|+c
\end{align*}