Integrale

[maria601]

Dato\(\int _ sqrt (e^x/(e^x-1))\) ho provato con il metodo della sostituzione ma non riesco ad andar avanti.

[maria601]

scusa, ma l'integrale è diverso e per la precisione \$\int_( e^x sqrt (e^x/(1-e^x)))dx\$ ,penso sempre con sostituzione , grazie

[Noisemaker]

"maria60":scusa, ma l'integrale è diverso e per la precisione $\int_ e^x sqrt (e^x/(1-e^x))dx $ ,penso sempre con sostituzione , grazie

[Noisemaker]

forse è questo?
\[\int e^x \cdot \sqrt {\frac{e^x} {1-e^x}}\,\,dx\]

[maria601]

Si, non riesco ad usare le formule...

[Noisemaker]

\begin{align}
\int e^x \cdot \sqrt {\frac{e^x} {1-e^x}}\,\,dx=\int \sqrt {\frac{e^x} {1-e^x}}\,\,d\left(e^x\right)\stackrel{e^x=t}{=}\int \sqrt {\frac{t} {1-t}}\,\,d t
\end{align}

a questo punto poni la sostituzione $ \sqrt {\frac{t} {1-t}}=y\quad \to \quad dt=\frac{2y}{(1-y^2)^2} \,\,dy$ e l'integrale diviene:

\begin{align}
\int e^x \cdot \sqrt {\frac{e^x} {1-e^x}}\,\,dx=\int \sqrt {\frac{e^x} {1-e^x}}\,\,d\left(e^x\right)\stackrel{e^x=t}{=}\int \sqrt {\frac{t} {1-t}}\,\,d t\stackrel{ \sqrt {\frac{t} {1-t}}=y}{=}\int t\cdot \frac{2y}{(1-y^2)^2} \,\,dy=2\cdot\int \frac{ y^2}{(1-y^2)^2} \,\,dy
\end{align}

da cui dovresti arrivare all'insieme delle primitive

[maria601]

grazie. Mi trovo in parentesi 1+$y^2 $ da cui scindendo l'integrale mi viene arcty +integrale di $1/(y^2+1)^2 $ , maquesto come si integra?