Integrale

[pemaberty]

Salve,
mi trovo alle prese con quest'integrale. Posso risolverlo con la tecnica che preferisco.

$ int (arctg(log(cosx)))/(cotanx) dx $

Ho provato a porre cosx=t, cotanx=t.. ma non mi hanno portato a nulla di buono. Avete idee da consigliarmi?

[chisigma]

Ponendo $\ln \cos x = t$ hai $dx= - \cot x\ dt$ e l'integrale diviene...

$ - \int \tan^{-1} t\ dt$ (1)

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[pemaberty]

"chisigma":Ponendo $\ln \cos x = t$ hai $dx= - \cot x\ dt$ e l'integrale diviene...

$ - \int \tan^{-1} t\ dt$ (1)

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

Ciao, non mi torna.

Se pongo $ln(cosx)=t$ avrò che $cosx=e^t$ ovvero che $x=arccose^t$ e la derivata di $arccose^t$ non è mica $ - cotan(x) $ ?

[Noisemaker]

la sostituzione suggerita è giusta, infatti:

\begin{align}
\int \frac{\arctan\ln \cos x}{\cot x}\,\,dx& = \int \frac{\arctan\ln \cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}}\,\,dx =\int \frac{\sin x\cdot\arctan\ln \cos x}{ \cos x }\,\,dx\\
&=\int \frac{ \arctan\ln \cos x}{ \cos x }\,\,d\left(-cos x\right)=-\int \frac{ \arctan\ln \cos x}{ \cos x }\,\,d\left(cos x\right)\\
&\stackrel{\cos x =t}{=}-\int \frac{ \arctan\ln t}{t}\,\,d\left(t\right)=-\int \arctan\ln t \,\,d\left(\ln t\right)\\
&\stackrel{\ln t=y }{=}-\int \arctan y \,\,d\left(y\right)
\end{align}

a questo punto integrando per parti arrivi al risultato

[pemaberty]

Noisemaker, vorrei sapere una cosa: obiettivamente questo integrale è semplice? Non riesco a capire perchè su internet la stragrande maggioranza degli esercizi mi viene, ma appena prendo gli esercizi della mia prof non mi vengono più Sono più difficili della media oppure sono io che sono di un livello esageratamente basso?

[Noisemaker]

direi che questo esercizio è standard ...