Integrale

[pemaberty]

Salve ancora,

vi posto anche questo esercizio. E' uno di quelli che oggi mi ha dato più problemi. Come avete capito mi metto da parte quelli che durante la giornata mi hanno messo in difficoltà e li posto nel tardo pomeriggio per farveli vedere.

L'esercizio è questo.

$ int (cos(logx)*logx)/x^2 $

Ho provato a farlo per sostituzioni e per parti, ma niente. Forse c'è qualcosa che mi sfugge :S

[Emar1]

Te la butto lì. Hai provato con la sostituzione $t = log(x)$ prima di fare per parti?

[pemaberty]

"Emar":Te la butto lì. Hai provato con la sostituzione $t = log(x)$ prima di fare per parti?

Si, e non mi ha aiutato :S

Se $ t= log x $ allora $ x= e^t $ e $ dx = e^t dt $

Sostituiamo

$ int (cos(logx)*logx)/x^2 = int (t*cost)/(e^2t) * e^t = int t*cost/e^t $ ed ora?

[Noisemaker]

\begin{align*}
\int \frac{\ln x\cos\ln x}{x^2}\,\,dx =\int \frac{\ln x\cos\ln x}{x }\cdot \frac{1}{x}\,\,dx=\int \frac{\ln x\cos\ln x}{x }\cdot \,\,d\left(\ln x\right)
\end{align*}

adesso posto $\ln x=t\to x=e^t\to dx=e^tdt$

\begin{align*}
\int \frac{t\cdot\cos t}{e^t }\cdot e^t \,\,d\left(t\right)= \int t\cdot\cos t\,\,dt
\end{align*}

[pemaberty]

"Noisemaker":\begin{align*}
\int \frac{\ln x\cos\ln x}{x^2}\,\,dx =\int \frac{\ln x\cos\ln x}{x }\cdot \frac{1}{x}\,\,dx=\int \frac{\ln x\cos\ln x}{x }\cdot \,\,d\left(\ln x\right)
\end{align*}

adesso posto $\ln x=t\to x=e^t\to dx=e^tdt$

\begin{align*}
\int \frac{t\cdot\cos t}{e^t }\cdot e^t \,\,d\left(t\right)= \int t\cdot\cos t\,\,dt
\end{align*}

Non sono riuscito a capire il terzo passaggio. $1/x$ è diventato $dln(x)$? Perchè?

[Noisemaker]

ho portato dentro il differenziale $1/x$ ..

[Emar1]

Complimenti a Noisemaker. Io avevo già fatto mezza pagina di calcoli

[Noisemaker]

"Emar":Complimenti a Noisemaker. Io avevo già fatto mezza pagina di calcoli

...gli integrali sono bast*** se non li vedi bene

[pemaberty]

Noisemaker, per capire il tuo passaggio bisogna conoscere qualche cosa in particolare di teoria?
Purtroppo mi hanno insegnato una cosa sul differenziale: $ dx= Df(t)dt $ Devo andarlo a studiare meglio? Potresti spiegarmi gentilmente come hai portato dentro al differenziale $1/x$ ?

Emar, ringrazio anche te che ti stavi adoperando per aiutarmi

[Noisemaker]

e ti hanno spiegato bene .... infatti quelo che hai scritto tu, se fai la derivata, diviene proprio $dx=f'(t)dt$
allora se hai $\frac{1}{x} dx=d(\ln x)$