Integrale
Buona sera,
Avrei un dubbio..
$\int 2/( 7-3P^2)dp$ =
A/($sqrt(7)$ - $sqrt(3)$) + B/ ($sqrt(7)$ + $sqrt(3)$) svolegendo i vari calcoli ottengo al numeratore
p(A$sqrt(3)$ - B$sqrt(3)$) + (B$sqrt(7)$ + A$sqrt(7)$)
mettendo a sistema viene A$sqrt(3)$ - B$sqrt(3)$= 0 con A+B=2
non so come trovarmi A e B, e ottenere alla fine i logaritmi per risolvere questo integrale
Avrei un dubbio..
$\int 2/( 7-3P^2)dp$ =
A/($sqrt(7)$ - $sqrt(3)$) + B/ ($sqrt(7)$ + $sqrt(3)$) svolegendo i vari calcoli ottengo al numeratore
p(A$sqrt(3)$ - B$sqrt(3)$) + (B$sqrt(7)$ + A$sqrt(7)$)
mettendo a sistema viene A$sqrt(3)$ - B$sqrt(3)$= 0 con A+B=2
non so come trovarmi A e B, e ottenere alla fine i logaritmi per risolvere questo integrale
Risposte
Cioè non sai dividere per $sqrt(3)$ ambo i membri della seconda tra quelle equazioni che devono valere in contemporanea,
per poi sommare e sottrarre membro a membro
?
Comunque,ad occhio,i conti non ti torneranno perché hai perso un paio di $P$ nella prima decomposizione in fratti semplici;
ricorda inoltre che in casi del genere i coefficienti posso trovarsi in modo più comodo che con l'applicazione da te fatta del principio d'identità dei polinomi:
se nessuno l'avrà fatto entro domani sera penso io ad illustrartelo,
che per oggi direi che ne ho avuto abbastanza di Proposizioni della Matematica per continuare a parlare di quest'ultima in modo costruttivo
!
Saluti dal web.
per poi sommare e sottrarre membro a membro
?Comunque,ad occhio,i conti non ti torneranno perché hai perso un paio di $P$ nella prima decomposizione in fratti semplici;
ricorda inoltre che in casi del genere i coefficienti posso trovarsi in modo più comodo che con l'applicazione da te fatta del principio d'identità dei polinomi:
se nessuno l'avrà fatto entro domani sera penso io ad illustrartelo,
che per oggi direi che ne ho avuto abbastanza di Proposizioni della Matematica per continuare a parlare di quest'ultima in modo costruttivo
!Saluti dal web.
si i conti non tornano in effetti 
ho sbagliato un calcolo dovrebbe essere $int 2/(7-p^2) dp $... quindi dovrebbe essere A/[$sqrt(7)$-p] + B/[$sqrt(7)$+p] , svolgendo i calcoli ottengo il sistema di A+B=2 con p(A-B) + $sqrt(7)$(A+B)=0
ho sbagliato un calcolo dovrebbe essere $int 2/(7-p^2) dp $... quindi dovrebbe essere A/[$sqrt(7)$-p] + B/[$sqrt(7)$+p] , svolgendo i calcoli ottengo il sistema di A+B=2 con p(A-B) + $sqrt(7)$(A+B)=0
Posto che il 2 l'ho portato fuori dall'integrale
$1/(7-3p^2)=A/(sqrt(7)-sqrt(3)p)+B/(sqrt(7)+sqrt(3)p)$ Fai il m.c.m e ti ritrovi al numeratore
$Asqrt(7)+Asqrt(3)p+Bsqrt(7)-Bsqrt(3)p$ Dunque imponiamo che la somma dei coefficienti delle $p$ devono essere 0 e la somma dei termini noti uguali a 1
$\{(Asqrt(3)-Bsqrt(3)=0),(Asqrt(7)+Bsqrt(7)=1):}$
Da cui ricavi che $A=B=1/(2sqrt(7))$ ora che hai $A$ e $B$ puoi fare i due integrali corrispondenti che sono abbastanza immediati!
$\int (1/(2sqrt(7))/(sqrt(7)-sqrt(3)p)dx$
$\int (1/(2sqrt(7))/(sqrt(7)+sqrt(3)p)dx$
Portando il numeratore fuori dall'integrale in entrambi e moltiplicando e dividendo numeratore e denominatore del primo per $-sqrt(3)$ e del secondo per $sqrt(3)$
Ottieni due integrali immediati, in quanto risultano essere le derivate dei logaritmi dei denominatori
$1/(7-3p^2)=A/(sqrt(7)-sqrt(3)p)+B/(sqrt(7)+sqrt(3)p)$ Fai il m.c.m e ti ritrovi al numeratore
$Asqrt(7)+Asqrt(3)p+Bsqrt(7)-Bsqrt(3)p$ Dunque imponiamo che la somma dei coefficienti delle $p$ devono essere 0 e la somma dei termini noti uguali a 1
$\{(Asqrt(3)-Bsqrt(3)=0),(Asqrt(7)+Bsqrt(7)=1):}$
Da cui ricavi che $A=B=1/(2sqrt(7))$ ora che hai $A$ e $B$ puoi fare i due integrali corrispondenti che sono abbastanza immediati!
$\int (1/(2sqrt(7))/(sqrt(7)-sqrt(3)p)dx$
$\int (1/(2sqrt(7))/(sqrt(7)+sqrt(3)p)dx$
Portando il numeratore fuori dall'integrale in entrambi e moltiplicando e dividendo numeratore e denominatore del primo per $-sqrt(3)$ e del secondo per $sqrt(3)$
Ottieni due integrali immediati, in quanto risultano essere le derivate dei logaritmi dei denominatori
Grazie per la risposta comunque ho sbagliato di scrivere l'integrale all'inizio. Ho trovato che A=B 1/radice di 7. quindi seguendo il tuo ragionamento il risultato dovrebbe essere 1/ radice di 7 per ln|radice di 7+ p| + 1/radice di 7 per ln/radice di 7-p|
Non ho capito se l'integrale iniziale è sbagliato..nel caso lo fosse devi corregerlo altrimenti non posso aiutarti..Se invece l'integrale di partenza è giusto allora nei tuoi risultati ci manca qualcosa..senza contare che non si capisce molto, potresti scrivere usando il linguaggio del forum?
è semplice basta racchiudere le tue formule tra due $, ti rimando all'apposito topic per chiarimenti
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
è semplice basta racchiudere le tue formule tra due $, ti rimando all'apposito topic per chiarimenti
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
L'integrale di partenza $int 2/(7-p^2) dp $ svolgendo con Hermite l'integrale e seguendo i tuoi passaggi ho ottenuto 2 integrali immediati e precisamente : A=B = $(1)/(sqrt(7))$ e il risultato mi è venuto $ (1)/(sqrt(7)) ln|sqrt(7)+p|+(1)/(sqrt(7)) ln|sqrt(7)-p|$ è corretto?
si a parte che ci manca un meno al secondo logaritmo...
Precisamente dove? non capisco dove ho sbagliato $ (1)/(sqrt(7)) ln|sqrt(7)+p|+(1)/(sqrt(7)) ln|sqrt(7)-p|$ Grazie!
$ (1)/(sqrt(7)) ln|sqrt(7)+p|+(1)/(sqrt(7)) ln|sqrt(7)-p|$ Grazie!
Nel secondo integrale, quello dove al denominatore c'è $sqrt(7)-p$ devi farti "venire" anche la derivata appunto del denominatore..per cui prova a derivare il secondo addendo della tua soluzione, scoprirai che ci manca un meno... ricorda la derivata di $ln|sqrt(7)-p|$ è $-1/(sqrt(7)-p)$
è pur sempre una funzione composta!
è pur sempre una funzione composta!
Grazie sei stato molto chiaro nelle spiegazioni. Un'ultima domanda, io ho trovato quindi la soluzione dell'integrale : $int 2/(7-p^2) dp $ ed è la stessa dell'integrale $int 1/(3+4cosx) dx $ ?? avendo posto p= $tg(x/2)$ e quindi cosx= $ (1-p^2)/ ( 1+p^2) $
Grazie sei stato molto chiaro nelle spiegazioni. Un'ultima domanda, io ho trovato quindi la soluzione dell'integrale : $int 2/(7-p^2) dp $ ed è la stessa dell'integrale $int 1/(3+4cosx) dx $ ?? avendo posto p= $tg(x/2)$ e quindi cosx= $ (1-p^2)/ ( 1+p^2) $
Grazie sei stato molto chiaro nelle spiegazioni. Un'ultima domanda, io ho trovato quindi la soluzione dell'integrale : $int 2/(7-p^2) dp $ ed è la stessa dell'integrale $int 1/(3+4cosx) dx $ ?? avendo posto p= $tg(x/2)$ e quindi cosx= $ (1-p^2)/ ( 1+p^2) $
No.. è (anche se di poco 
) diverso..
Nel senso che durante la sostituzione con le formule parametriche hai dimenticato il numeratore! Dove l'hai fatto finire
$1+p^2$? ..
Per cui no, non è lo stesso integrale Ricontrolla i calcoli, otterrai un integrale di una funzione con polinomi di secondo grado al numeratore e al denominatore..
) diverso..Nel senso che durante la sostituzione con le formule parametriche hai dimenticato il numeratore! Dove l'hai fatto finire
$1+p^2$? ..
Per cui no, non è lo stesso integrale
Ricontrolla i calcoli, otterrai un integrale di una funzione con polinomi di secondo grado al numeratore e al denominatore..
$1+p^2$ è sparito quando mi sono trovata il differenziale ! =P
Scusa per la distrazione! Mentre ti scrivevo nel contempo facevo un altro mio esercizio..
L'integrale va bene allora, solo ricorda di ricambiare la variabile che hai sostituito nel risultato finale, insomma alla soluzione finale al posto di $p$ devi metterci la variabile in x che hai sostituito con $p$ per l'appunto..
Per cui visto che $p=tg(x/2)$ il gioco è fatto e nelle soluzioni finali al posto di $p$ inserisici la variabile in x che t'interessava calcolare originariamente..
Chiaramente non puoi lasciare $p$ come soluzione dell'integrale che ti hanno dato in partenza, semplicemente perchè la soluzione in p non è di certo la soluzione dell'integrale
$\int 1/(3+4cosx)dx$
Per ottenere la soluzione di questo integrale invece ti basterà come già detto sostituire alla variabile $p$ la $tg(x/2)$
L'integrale va bene allora, solo ricorda di ricambiare la variabile che hai sostituito nel risultato finale, insomma alla soluzione finale al posto di $p$ devi metterci la variabile in x che hai sostituito con $p$ per l'appunto..
Per cui visto che $p=tg(x/2)$ il gioco è fatto e nelle soluzioni finali al posto di $p$ inserisici la variabile in x che t'interessava calcolare originariamente..
Chiaramente non puoi lasciare $p$ come soluzione dell'integrale che ti hanno dato in partenza, semplicemente perchè la soluzione in p non è di certo la soluzione dell'integrale
$\int 1/(3+4cosx)dx$
Per ottenere la soluzione di questo integrale invece ti basterà come già detto sostituire alla variabile $p$ la $tg(x/2)$
Quindi al posto della $p$ metto $tg(x/2)$ ?
certo! altrimenti non ottieni l'integrazione della funzione in x, ma l'integrazione della funzione in p, ricorda che hai usato la sostituzione per trovare il risultato dell'integrale in x, dunque quando sostituisci non perdere di vista l'obiettivo iniziale, che e' per l'appunto l'integrale in x!
Grazie mille.. ora però mi è venuto un'altro dubbio.. all'inzio con l'integrale in funzione di x, quando ho fatto la sostituzione ho scritto $p=tg(x/2)$ quindi $2p=tg(x/2)$ $x/2=arctg(p)$ quindi $x=2arctg(p)$ e facendo la derivata viene appunto $2/(1+p^2)$ è corretto?
quando è vero $f(x/2)* 2 = f(x)$ ?? e perchè? non mi è chiara sta cosa..
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