Integrale 0 a x

[rap1993]

Ragazzi mi sapreste aiutare con questo integrale?
Data la funzione integrale

$F(x)=int_0^xarctan(e^(2t)+1)$

calcolare la derivata seconda della funzione per x=0

[Brancaleone1]

"rap1993":Ragazzi mi sapreste aiutare con questo integrale?
Data la funzione integrale

$F(x)=int_0^xarctan(e^(2t)+1)$

calcolare la derivata seconda della funzione per $x=0$

Puoi aiutarti con il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

[Newton_1372]

Perchè, ce ne sono 2? Io ne conosco solo 1..

[rap1993]

"Brancaleone":Puoi aiutarti con il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Esatto solo che non so come muovermi !

[Brancaleone1]

Esiste una formula generale che afferma:

$F(x)=int_(alpha(x))^(beta(x)) f(t)dt$

$=>F'(x)=f(beta(x))beta'(x)-f(alpha(x))alpha'(x)$

con la quale puoi ricavarti la derivata prima.

[rap1993]

Grazie ma non riesco a capire come farlo purtroppo!!!

[Brancaleone1]

Ma come non ci riesci?! Basta sostituire...

$alpha(x)$ è l'estremo inferiore di integrazione: qual è l'estremo inferiore di integrazione della tua $F(x)$?

$beta(x)$ è l'estremo superiore di integrazione: qual è l'estremo superiore di integrazione della tua $F(x)$?

Trovata $alpha(x)$, quanto vale la sua derivata $alpha'(x)$?

Trovata $beta(x)$, quanto vale la sua derivata $beta'(x)$?

Mettendo infine tutto insieme si trova che la derivata prima vale...

[rap1993]

E a me viene:

$ (arctg(2)*0)-arctg(e^(2x)+1)*(2*e^(2x))/(1+(e^(2x)+1)^2) $

[Brancaleone1]

"rap1993":E a me viene:

$ (arctg(2)*0)-arctg(e^(2x)+1)*(2*e^(2x))/(1+(e^(2x)+1)^2) $

Allora:
$F'(x)=f(x)d/(dx)x-f(0)d/(dx)0=f(x)=arctan(e^(2x)+1)$

La derivata seconda si calcola facendo uso del teorema di derivazione delle funzioni composte:

$F''(x)=f'(x)=(2e^(2x))/(1+(e^(2x)+1)^2)$

e quindi

$F''(0)=f'(0)=2/5$

[rap1993]

Capisco capisco! Grazie per la pazienza!

[Brancaleone1]

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