Integral superficiale con superficie proiettata sul piano xy
Salve a tutti, ho un esercizio del genere:
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}
Allora, la formula per calcolare l'integrale superficiale che devo adoperare è la seguente:
$int int_{D} (f(psi(phi,theta))sqrt(A(phi,theta)^2+B(phi,theta)^2+C(phi,theta)^2)d phi d theta)$
dove $f(psi(phi,omega))$ è la funzione iniziale in cui vengono sostituite le coordinate $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$ e A,B,C(phi,theta) sono i minori di ordine 2 dello jacobiano relativo alla superficie.
Ora, ho considerato la superficie come cartesiana, pertanto ho imposto che i 3 minori fossero i seguenti:
$A=2x^3, B=0, C=1
e, quadrando e sommando, avrò $4/x^6+1$ che, una volte messo sotto radice quadrata, potrò inserire nella seconda parte della formula suddetta.
Dopodichè, non conoscendo l'andamento della $z=xy$, ho disegnato, nel piano xy, il dominio D suddetto, ottenendo un settore di corona circolare, in cui $-pi/4<=theta<=pi/4, 0<=phi<=pi$.
Una volta fatto ciò (sempre che quanto detto sia esatto, naturalmente), dovrò trovare la $(f(psi(phi,theta))$, che, se ho capito bene, deve essere ricavata sostituendo $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$.
Ho cercato di proporre tale soluzione, sebbene non sia molto sicuro che sia esente da errori vari.
Grazie per l'aiuto,
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}
Allora, la formula per calcolare l'integrale superficiale che devo adoperare è la seguente:
$int int_{D} (f(psi(phi,theta))sqrt(A(phi,theta)^2+B(phi,theta)^2+C(phi,theta)^2)d phi d theta)$
dove $f(psi(phi,omega))$ è la funzione iniziale in cui vengono sostituite le coordinate $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$ e A,B,C(phi,theta) sono i minori di ordine 2 dello jacobiano relativo alla superficie.
Ora, ho considerato la superficie come cartesiana, pertanto ho imposto che i 3 minori fossero i seguenti:
$A=2x^3, B=0, C=1
e, quadrando e sommando, avrò $4/x^6+1$ che, una volte messo sotto radice quadrata, potrò inserire nella seconda parte della formula suddetta.
Dopodichè, non conoscendo l'andamento della $z=xy$, ho disegnato, nel piano xy, il dominio D suddetto, ottenendo un settore di corona circolare, in cui $-pi/4<=theta<=pi/4, 0<=phi<=pi$.
Una volta fatto ciò (sempre che quanto detto sia esatto, naturalmente), dovrò trovare la $(f(psi(phi,theta))$, che, se ho capito bene, deve essere ricavata sostituendo $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$.
Ho cercato di proporre tale soluzione, sebbene non sia molto sicuro che sia esente da errori vari.
Grazie per l'aiuto,
Risposte
non riesco a seguire molto. $phi$ si scrive phi, mentre per scrivere $d theta$ devi spaziare: d theta.
non capisco il resto, magari posta tutto il procedimento come faresti e poi ci do un occhio.
non capisco il resto, magari posta tutto il procedimento come faresti e poi ci do un occhio.
sì, ok, cerco di spiegarti in sintesi come ho fatto:
1)ho notato che $z=xy$ è una superficie cartesiana, pertanto è noto, a priori, che i 3 minori di ordine 2 del relativo jacobiano sono:
data $f=1/x^2
$A=-f_x=2/x^3
$B=-f_y=0
$C=1
e li ho quadrati e sommati, così da ottenere $4/x^6+1$.
Guardando la formula: $int int_{D} (f(psi(phi,theta))sqrt(A(phi,theta)^2+B(phi,theta)^2+C(phi,theta)^2)d phi d theta)$
mi serve calcolare $(f(psi(phi,theta))$;se la superficie fosse una sfera di raggio 1,il cambiamento sarebbe:
$x=cos(theta)sin(phi)
$y=sin(theta)sin(phi)
$z=cos(phi)
solo che a me è un settore di corona circolare.
quindi a questo punto non so come proseguire, per poi sostituire il tutto nella formula suddetta per calcolare l'integrale doppio
1)ho notato che $z=xy$ è una superficie cartesiana, pertanto è noto, a priori, che i 3 minori di ordine 2 del relativo jacobiano sono:
data $f=1/x^2
$A=-f_x=2/x^3
$B=-f_y=0
$C=1
e li ho quadrati e sommati, così da ottenere $4/x^6+1$.
Guardando la formula: $int int_{D} (f(psi(phi,theta))sqrt(A(phi,theta)^2+B(phi,theta)^2+C(phi,theta)^2)d phi d theta)$
mi serve calcolare $(f(psi(phi,theta))$;se la superficie fosse una sfera di raggio 1,il cambiamento sarebbe:
$x=cos(theta)sin(phi)
$y=sin(theta)sin(phi)
$z=cos(phi)
solo che a me è un settore di corona circolare.
quindi a questo punto non so come proseguire, per poi sostituire il tutto nella formula suddetta per calcolare l'integrale doppio
te lo controllo stasera se non ci pensa qualcun altro (ora sto per uscire). intanto ti ho risposto sull'altro topic.
"guybrush1989":
Salve a tutti, ho un esercizio del genere:
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}
parametrizziamo la superficie $sigma$: questo è semplice perchè puoi usare la forma cartesiana che praticamente ti è data dal testo, quindi avresti $sigma(x,y) = (x, y, xy)$.
fatto questo, $||sigma_x ^^ sigma_y||$ dovrebbe essere $sqrt(1 + y^2 + x^2)$ (ricontrolla per sicurezza), dunque dovresti ottenere:
$int int_D \ 1/(x^2) sqrt(1 + y^2 + x^2) dx dy $
"enr87":
[quote="guybrush1989"]Salve a tutti, ho un esercizio del genere:
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}
parametrizziamo la superficie $sigma$: questo è semplice perchè puoi usare la forma cartesiana che praticamente ti è data dal testo, quindi avresti $sigma(x,y) = (x, y, xy)$.
fatto questo, $||sigma_x ^^ sigma_y||$ dovrebbe essere $sqrt(1 + y^2 + x^2)$ (ricontrolla per sicurezza), dunque dovresti ottenere:
$int int_D \ 1/(x^2) sqrt(1 + y^2 + x^2) dx dy $[/quote]
sì, ricontrollerò i calcoli..cavoli, era così semplice, mentre io mi ero scervellato a fare tutta quella roba...
ti ringrazio molto per l'aiuto, non credo avrò problemi nella risoluzione di tale integrale
bhè, tu non devi mai soffermarti sulla regola ma pensare a quello che c'è dietro. comunque così a priori non mi sembra neanche semplice da integrare, ma forse sarà perchè mi spavento ogni volta che vedo radici. prova e fammi sapere cosa ti esce se hai voglia
"enr87":
bhè, tu non devi mai soffermarti sulla regola ma pensare a quello che c'è dietro. comunque così a priori non mi sembra neanche semplice da integrare, ma forse sarà perchè mi spavento ogni volta che vedo radici. prova e fammi sapere cosa ti esce se hai voglia
sì, provo ad integrarlo e ti faccio sapere
ho provato ad integrare $int int_D \ 1/(x^2) sqrt(1 + y^2 + x^2) dx dy $, ma in coordinate cartesiane è molto difficile; poichè la natura del dominio lo fa intuire (si tratta di un settore di corona circolare), sono passato a coordinate polari, con le seguenti limitazioni:
$1<=rho<=sqrt(2), -pi/4<=theta<=pi/4
e sostituendo $x=rhocos(theta), y=rhosin(theta)$ l'integrale diventa:
$int int_C 1/(rhocos^2(theta))sqrt(1+rho^2)d rho d theta= int_(1)^(sqrt(2)) (sqrt(1+rho^2)/rho d rho) int_(-pi/4)^(pi/4) (1/(cos^2(theta))d theta).
Il primo integrale ho provato a risolverlo così:
$ int (sqrt(1+x^2)/x d x)$, sostituisco $1+x^2=t, x=sqrt(t-1), dx=1/(2sqrt(t-1))
quindi avrò $1/2int sqrt(t)/(t-1)dt
sostituendo, ancora, $sqrt(t)=m, t=m^2, dt=2m$ avrò:
$int m/(m^2-1)dm
a questo punto, ho aggiunto e sottratto 1 e quindi sarà:
$int m/(m^2-1)dm=int dm + int(dm/m^2-1)=m+1/2ln|m-1|-1/2ln|m+1|
dove $int(dm/m^2-1)$ l'ho risolto come integrale di funzione razionale.
risostituendo $m=sqrt(t)$ avrò:
$sqrt(t)+1/2ln|sqrt(t)-1|-1/2ln|sqrt(t)+1|$, e ricordando che $1+x^2=t$ sarà $sqrt(1+x^2)=sqrt(t)$ e quindi:
$ int (sqrt(1+x^2)/x d x)$=$sqrt(1+x^2)+1/2ln(sqrt(1+x^2)-1)-1/2ln(sqrt(1+x^2)+1)
non credo di aver fatto errori, eppure il risultato è differente da questo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... sqrt(1%2Bx^2)dx)
$1<=rho<=sqrt(2), -pi/4<=theta<=pi/4
e sostituendo $x=rhocos(theta), y=rhosin(theta)$ l'integrale diventa:
$int int_C 1/(rhocos^2(theta))sqrt(1+rho^2)d rho d theta= int_(1)^(sqrt(2)) (sqrt(1+rho^2)/rho d rho) int_(-pi/4)^(pi/4) (1/(cos^2(theta))d theta).
Il primo integrale ho provato a risolverlo così:
$ int (sqrt(1+x^2)/x d x)$, sostituisco $1+x^2=t, x=sqrt(t-1), dx=1/(2sqrt(t-1))
quindi avrò $1/2int sqrt(t)/(t-1)dt
sostituendo, ancora, $sqrt(t)=m, t=m^2, dt=2m$ avrò:
$int m/(m^2-1)dm
a questo punto, ho aggiunto e sottratto 1 e quindi sarà:
$int m/(m^2-1)dm=int dm + int(dm/m^2-1)=m+1/2ln|m-1|-1/2ln|m+1|
dove $int(dm/m^2-1)$ l'ho risolto come integrale di funzione razionale.
risostituendo $m=sqrt(t)$ avrò:
$sqrt(t)+1/2ln|sqrt(t)-1|-1/2ln|sqrt(t)+1|$, e ricordando che $1+x^2=t$ sarà $sqrt(1+x^2)=sqrt(t)$ e quindi:
$ int (sqrt(1+x^2)/x d x)$=$sqrt(1+x^2)+1/2ln(sqrt(1+x^2)-1)-1/2ln(sqrt(1+x^2)+1)
non credo di aver fatto errori, eppure il risultato è differente da questo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... sqrt(1%2Bx^2)dx)
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