Integral multiplo
Buongiorno a tutti
Mi trovo in difficoltà a calcolare un integrale a prima vista molto semplice
$\int int x^2 dxdy $ sul dominio $ D={(x,y) in\ RR : -1
Ho ovviamente provato con le coordinate polari
$ -1< arctan (tan (theta))<1, 0
che implica $ -1< theta <1$ e $0
Quindi integrale risulta essere
$\int_0^1 r^3 dr $ * $\int_-1^1 cos(theta)^2 d theta $.
Mentre la soluzioen riposta $\int_0^1 r^3 dr $ * $\int_-(pi/4)^(pi/4) cos(theta)^2 d theta $.
Quale dei due risultati risulta essere corretto?
Grazie a tutti.
Mi trovo in difficoltà a calcolare un integrale a prima vista molto semplice
$\int int x^2 dxdy $ sul dominio $ D={(x,y) in\ RR : -1
Ho ovviamente provato con le coordinate polari
$ -1< arctan (tan (theta))<1, 0
che implica $ -1< theta <1$ e $0
Quindi integrale risulta essere
$\int_0^1 r^3 dr $ * $\int_-1^1 cos(theta)^2 d theta $.
Mentre la soluzioen riposta $\int_0^1 r^3 dr $ * $\int_-(pi/4)^(pi/4) cos(theta)^2 d theta $.
Quale dei due risultati risulta essere corretto?
Grazie a tutti.
Risposte
A me sembrano errate entrambe: per definizione di arcotangente, la prima condizione risulta
$-\pi/4
Se ora disegni questa condizione nel piano cartesiano, ottieni come dominio la regione interna al cerchio di centro l'origine e raggio 1 comune con le due regioni del piano interne alle due rette per l'origine scritte sopra. Il dominio è simmetrico rispetto alla $x$ e anche alla $y$, così come è simmetrica la funzione, per cui puoi concentrarti solo sulla parte $x\ge 0$. Ne segue che su essa $\theta\in[-1,1]$ e che $r\in[0,1]$. L'integrale risulta allora pari a
$2\int_0^1 r^3\ dr\cdot\int_{-1}^1\cos^2\theta\ d\theta$
P.S.: dico che la tua è errata poiché, dal momento hai due spazi su cui integrare, avresti dovuto raddoppiare l'integrale. Sinceramente non capisco come possa venire fuori una condizione con angoli espressi in termini di $\pi$ nella soluzione "proposta" (e non risposta... a meno che qualcuno non l'abbia messa in un cassetto o uno scrigno!
)
$-\pi/4
Se ora disegni questa condizione nel piano cartesiano, ottieni come dominio la regione interna al cerchio di centro l'origine e raggio 1 comune con le due regioni del piano interne alle due rette per l'origine scritte sopra. Il dominio è simmetrico rispetto alla $x$ e anche alla $y$, così come è simmetrica la funzione, per cui puoi concentrarti solo sulla parte $x\ge 0$. Ne segue che su essa $\theta\in[-1,1]$ e che $r\in[0,1]$. L'integrale risulta allora pari a
$2\int_0^1 r^3\ dr\cdot\int_{-1}^1\cos^2\theta\ d\theta$
P.S.: dico che la tua è errata poiché, dal momento hai due spazi su cui integrare, avresti dovuto raddoppiare l'integrale. Sinceramente non capisco come possa venire fuori una condizione con angoli espressi in termini di $\pi$ nella soluzione "proposta" (e non risposta... a meno che qualcuno non l'abbia messa in un cassetto o uno scrigno!
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