Integral definito/indefinito

anto_zoolander
Ho bisogno che mi aiutiate a collegare due neuroni che hanno due informazioni che mi interessa siano collegate. :lol:

Parto direttamente da:

sia $f$ una funzione integrabile(al più impropriamente) su tutto un dominio $D$ e sia l'intervallo $[a,x]inD$

$int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$

$F(a)$ è una costante e in quanto tale sarà buona per traslare in alto o in basso la funzione.
Chiamo $-F(a)=c$

$int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+c$

ma $F(x)$ è una funzione tale che $F'(x)=f(x)$ dunque $F(x)=intf(x)dx+c$

$int_{a}^{x}f(t)dt=intf(x)dx+c$

Ovvero $existscinRR$ tale che i due integrali risultino uguali.
Ad esempio attraverso questo posso dire che:

$int_{a}^{x}1/tdt=int1/xdx+c$ per una opportuna costante tale che sia $c=F(a)$

ora arriviamo al dunque. Posso dire che l'integrale indefinito di una funzione descrive, al variare di $c$, l'area sottesa al grafico dell'integranda?

In particolare se esiste un valore $alpha$ tale che $F(alpha)=0$ si avrebbe:

$int_{alpha}^{x}f(t)dt=intf(x)dx$

Risposte
bosmer-votailprof
Devi far attenzione alla terminologia, perché l'alto o in basso per la tua primitiva, diventa destra e sinistra per l'integranda.

Precisato questo, facendo molta attenzione puoi dirlo, basta che non ti senta nessuno...
No scherzi a parte, in un certo senso è così, semplicemente, mettiamo di fissare un secondo la $x$ , se tu vari la $c$ stai cambiando la tua $\alpha$ quindi stai cambiando il punto delle ascisse (quindi il punto a sinistra) da cui inizi a valutare l'area sottesa al grafico. Però dal mio punto di vista non ha senso unire questi due neuroni, perché l'integrale indefinito semplicemente non esiste(ma questa forse è la mia visione estremista) perché esso o è semplicemente un altro nome per chiamare la primitiva di una funzione (complicazione secondo me stupidamente inutile), oppure è un particolare integrale definito dove fisso un estremo $a$ e faccio variare un altro estremo $b$, che per l'occasione domenicale chiamo udite udite $x$... infatti la tua definizione può essere girata in un definizione più "propria" dell'integrale indefinito affermando che
$$
\int f(t')dt'=\int_a^xf(t)dt + k
$$
dove $k=F(a)$ ed $F(x)=\intf(t')dt'$

Niente di più niente di meno... è inutile cercare le briciole sotto i sassi perché se le sono già mangiate le formiche...

anto_zoolander
Noi siamo proprio lì a cercare quelle briciole che diano un po' di senso a tutto :-D
La questione dell'estremo è quella sulla quale mi sono soffermato. Anche se potremmo accordarci volendo in un opportuno dominio dove tutto questo ha senso.
Forse è meglio dormirci su al momento. :lol:

gugo82
Credo che il problema, qui, sia chiarire una volta e per tutte cosa significa (in linguaggio matematico comunemente accettato) il simbolo $\int f(x) \text{d} x$.


Nel caso in cui l'insieme di definizione della funzione integranda sia un intervallo, le cose diventano "facili".


Almeno nei casi di "ordinaria amministrazione" si possono stabilire alcuni legami tra problemi di natura diversa che sono molto utili nella pratica e nella teoria.
Un esempio è fornito proprio dai legami tra integrazione definita ed indefinita...


... E tra integrazione indefinita e definita.


Spero questo risponda ad un po' di questioni.

Mi permetto solamente un'ultima digressione linguistica.

axpgn
@gugo
Solo un dettaglio ... (molto) spesso ho visto presentare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale come composto da due parti, ovvero la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale come seconda parte di un unico teorema (od anche una doppia implicazione fra le due) ... è un abuso? eventualmente "leggero"?

Cordialmente, Alex

anto_zoolander
@gugo
Grazie mille gugo, ho rassettato molto le idee :lol: purtroppo studiando solo, preferisco sbatterci la testa qualche secondo in più, piuttosto che aspettare di andare in matematica. Da questo nascono un po' alcuni post.

@Alex
Si è vero, a volte l'ho visto anche io. Da altre parti l'ho visto utilizzare come un corollario. Anche se devo dire che è semplicemente una diretta conseguenza del primo teorema.

gugo82
@ axpgn:
Come dici, è solo un dettaglio... Questione di gusti nell'enunciare i teoremi.

axpgn
Thanks :D

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