Integral definito/indefinito

[anto_zoolander]

Ho bisogno che mi aiutiate a collegare due neuroni che hanno due informazioni che mi interessa siano collegate.

Parto direttamente da:

sia $f$ una funzione integrabile(al più impropriamente) su tutto un dominio $D$ e sia l'intervallo $[a,x]inD$

$int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$

$F(a)$ è una costante e in quanto tale sarà buona per traslare in alto o in basso la funzione.
Chiamo $-F(a)=c$

$int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+c$

ma $F(x)$ è una funzione tale che $F'(x)=f(x)$ dunque $F(x)=intf(x)dx+c$

$int_{a}^{x}f(t)dt=intf(x)dx+c$

Ovvero $existscinRR$ tale che i due integrali risultino uguali.
Ad esempio attraverso questo posso dire che:

$int_{a}^{x}1/tdt=int1/xdx+c$ per una opportuna costante tale che sia $c=F(a)$

ora arriviamo al dunque. Posso dire che l'integrale indefinito di una funzione descrive, al variare di $c$, l'area sottesa al grafico dell'integranda?

In particolare se esiste un valore $alpha$ tale che $F(alpha)=0$ si avrebbe:

$int_{alpha}^{x}f(t)dt=intf(x)dx$

[bosmer-votailprof]

Devi far attenzione alla terminologia, perché l'alto o in basso per la tua primitiva, diventa destra e sinistra per l'integranda.

Precisato questo, facendo molta attenzione puoi dirlo, basta che non ti senta nessuno...
No scherzi a parte, in un certo senso è così, semplicemente, mettiamo di fissare un secondo la $x$ , se tu vari la $c$ stai cambiando la tua $\alpha$ quindi stai cambiando il punto delle ascisse (quindi il punto a sinistra) da cui inizi a valutare l'area sottesa al grafico. Però dal mio punto di vista non ha senso unire questi due neuroni, perché l'integrale indefinito semplicemente non esiste(ma questa forse è la mia visione estremista) perché esso o è semplicemente un altro nome per chiamare la primitiva di una funzione (complicazione secondo me stupidamente inutile), oppure è un particolare integrale definito dove fisso un estremo $a$ e faccio variare un altro estremo $b$, che per l'occasione domenicale chiamo udite udite $x$... infatti la tua definizione può essere girata in un definizione più "propria" dell'integrale indefinito affermando che
$$
\int f(t')dt'=\int_a^xf(t)dt + k
$$
dove $k=F(a)$ ed $F(x)=\intf(t')dt'$

Niente di più niente di meno... è inutile cercare le briciole sotto i sassi perché se le sono già mangiate le formiche...

[anto_zoolander]

Noi siamo proprio lì a cercare quelle briciole che diano un po' di senso a tutto
La questione dell'estremo è quella sulla quale mi sono soffermato. Anche se potremmo accordarci volendo in un opportuno dominio dove tutto questo ha senso.
Forse è meglio dormirci su al momento.

[gugo82]

Credo che il problema, qui, sia chiarire una volta e per tutte cosa significa (in linguaggio matematico comunemente accettato) il simbolo $\int f(x) \text{d} x$.

Ebbene, se $f:X\to \RR$ (con $X\subseteq \RR$ "sensato" ma arbitrario[nota]Ad esempio, sono "sensati" gli insiemi $X$ che si ottengono unendo intervalli disgiunti, mentre non sono "sensati" insiemi $X$ costituiti da un numero finito di punti.[/nota]) il simbolo $\int f(x) \text{d} x$ denota un insieme di funzioni (non una singola funzione!!!) e precisamente si definisce:
\[
\int f(x)\ \text{d} x := \Big\{ F:X\to \mathbb{R}:\ F \text{ è derivabile in } X \text{ ed } F^\prime = f \text{ in tutto } X\Big\}\; ;
\]
in parole povere, l'integrale indefinito $\int f(x) \text{d} x$ è l'insieme di tutte le primitive di $f$ in $X$.

Nel caso in cui l'insieme di definizione della funzione integranda sia un intervallo, le cose diventano "facili".

Se l'insieme $X$ è un intervallo $I$ si dimostra una cosa importantissima, cioè che due qualsiasi primitive di $f$ (ossia due qualsiasi elementi dell'insieme $\int f(x) \text{d} x$) differiscono per una costante additiva.
Ciò implica che basta conoscere "esplicitamente" un'unica primitiva di $f$ in $I$ per descrivere completamente l'insieme $\int f(x) \text{d} x$: infatti, se $\Phi:I\to \RR$ è una primitiva di $f$ già determinata in qualche modo[nota]Cioè esplicitamente mediante calcoli (quando possibile), oppure usando risultati di teoria che ne garantiscono l'esistenza (nel caso in cui non sia possibile effettuare integrazione elementare).[/nota], allora ogni altra primitiva $F:I\to \RR$ di $f$ si ottiene sommando a $\Phi$ un'opportuna costante $c\in \RR$, cioè si ha $F(x) = \Phi (x) + c$ per ogni $x\in I$; da ciò segue che ogni elemento dell'insieme $\int f(x) \text{d} x$ è del tipo $\Phi + c$, cioè che si può scrivere:
\[
\int f(x)\ \text{d} x = \Big\{ \Phi + c,\text{ con } c\in \mathbb{R}\Big\}\; .
\]
Solitamente, per evitare notazioni complicate, si preferisce scrivere l'uguaglianza precedente direttamente come:
\[
\int f(x)\ \text{d} x = \Phi (x) + c,
\]
notazione comoda, ma un po' ambigua (al primo membro c'è un insieme, al secondo una funzione... E queste due cose certamente non possono essere uguali!).

Almeno nei casi di "ordinaria amministrazione" si possono stabilire alcuni legami tra problemi di natura diversa che sono molto utili nella pratica e nella teoria.
Un esempio è fornito proprio dai legami tra integrazione definita ed indefinita...

Un importante risultato di teoria (noto come Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale) ci dice che se $f:I\to \RR$ è continua, allora la cosiddetta funzione integrale di $f$ con punto iniziale $a\in I$, cioè la funzione:
\[
\Phi (x) := \int_a^x f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
definita usando l'integrale definito di $f$ esteso all'intervallo di estremi $a$ ed $x$ (con $x$ variabile in $I$)[nota]Notiamo che se $x\geq a$ allora l'integrale $\int_a^x f(t) \text{d} t$ è ben definito; mentre se $x Da quanto scritto sopra segue che:
\[
\int f(x)\ \text{d} x = \int_a^x f(t)\ \text{d} t + c\; ,
\]
quindi l'integrale indefinito di $f$ (che è un insieme!) si può rappresentare come somma di un integrale definito con estremo superiore variabile (i.e., di una funzione integrale) e di una costante arbitraria.
Quanto trovato mostra che (almeno nel caso di funzioni continue in un intervallo) esiste un legame tra il problema dell'integrazione definita e quello dell'integrazione indefinita, nel senso che il secondo problema si può "risolvere" avendo già "risolto" il primo.

... E tra integrazione indefinita e definita.

Viceversa, la cosiddetta Formula Fondamentale del Calcolo Integrale (detta anche Formula di Torricelli-Barrow) stabilisce che se è nota una qualsiasi primitiva $F$ della funzione $f$ in $I$, allora risulta:
\[
\int_a^b f(t)\ \text{d} t = F(b) - F(a)
\]
per ogni coppia di punti $a,b\in I$ (in qualsiasi ordine).
La formula di Torricelli-Barrow stabilisce dunque un legame tra il problema dell'integrazione indefinita ed il problema dell'integrazione definita, nel senso che il secondo problema si può "risolvere" avendo già "risolto" il primo.

Spero questo risponda ad un po' di questioni.

Mi permetto solamente un'ultima digressione linguistica.

Nei due paragrafi appena conclusi, il verbo "risolvere" è usato in un'accezione quantomai vasta (soprattutto per studenti delle superiori o del primo anno dell'università), diciamo nel senso in cui esso viene usato dai "professionisti" della Matematica. Detto molto alla buona, "risolvere" può significare non tanto che si è capaci di trovare esplicitamente una soluzione al problema (cosa che, di solito, si riesce a fare solamente in un numero esiguo di casi elementari), ma piuttosto che si è capaci di provare l'esistenza di una soluzione al problema, fornendo una sua costruzione anche "astratta".

[axpgn]

@gugo
Solo un dettaglio ... (molto) spesso ho visto presentare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale come composto da due parti, ovvero la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale come seconda parte di un unico teorema (od anche una doppia implicazione fra le due) ... è un abuso? eventualmente "leggero"?

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

@gugo
Grazie mille gugo, ho rassettato molto le idee purtroppo studiando solo, preferisco sbatterci la testa qualche secondo in più, piuttosto che aspettare di andare in matematica. Da questo nascono un po' alcuni post.

@Alex
Si è vero, a volte l'ho visto anche io. Da altre parti l'ho visto utilizzare come un corollario. Anche se devo dire che è semplicemente una diretta conseguenza del primo teorema.

[gugo82]

@ axpgn:
Come dici, è solo un dettaglio... Questione di gusti nell'enunciare i teoremi.

[axpgn]

Thanks