Integrabilità secondo Riemann e somme contigue
Buongiorno a tutti, mi rivolgo a voi per un problemuccio nella dimostrazione (in $RR^n$) del fatto che una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo gli insiemi delle somme inferiori e quello delle somme superiori sono contigui.
Innanzitutto prima di iniziare la dimostrazione mi sono chiarito bene il concetto di insiemi contigui in $RR^n$.
Due insiemi $A$ e $B$ sono contigui se e solo se hanno un solo elemento separatore.
La dimostrazione del mio professore è la seguente:
Innanzitutto io non capisco cosa siano gli insiemi $s(f,\delta)$ e $S(f,\delta)$ : le somme superiori e inferiori sono due numeri reali, non due insiemi. Forse lui intende che sono due insiemi quando non fisso $\delta$, ma lo faccio variare in $RR$? è forse una notazione "convenzionale"?
In secondo luogo come posso dire dalla definizione di insiemi contigui che gli insiemi $s(f,\delta)$ e $S(f,\delta)$ sono contigui se e solo se $AA \epsilon>0 EE \delta_1 , \delta_2 t.c. S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$?
In terzo luogo dire che $S(f,\delta_3)-s(f,\delta_3)<=S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$ non equivale a dire che la funzione è integrabile. Infatti per poter dire ciò è necessario calcolare appena quali siano gli estremi superiore ed inferiore rispettivamente degli insiemi delle somme inferiori e superiori (ad intuito direi che si ottengono con un partizionamento infinitamente fine).
Ma sopratutto, anche trascurando questi primi miei tre dubbi, questa dimostrazione a mio avviso è parziale, e dimostra al massimo una delle due implicazioni!
Mi rendo conto che ho molti dubbi e molto grossi. Premetto che in analisi I avevo capito molto bene l'argomento, ma lì si ragionava con i limiti e non con estremi inferiori e superiori. Vi sarei molto grato anche se riusciste ad aiutarmi a risolvere solo una piccola parte di essi.
Grazie in anticipo, Lorenzo
Innanzitutto prima di iniziare la dimostrazione mi sono chiarito bene il concetto di insiemi contigui in $RR^n$.
Due insiemi $A$ e $B$ sono contigui se e solo se hanno un solo elemento separatore.
La dimostrazione del mio professore è la seguente:
Gli insiemi $s(f,\delta)$ e $S(f,\delta)$ sono contigui se e solo se $AA \epsilon>0 EE \delta_1 , \delta_2 t.c. S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$.
Considero una partizione $\delta_3$ più fine di entrambe le precedenti.
Risulta $S(f,\delta_3)<=S(f,\delta_1)$ e $s(f,\delta_3)>=s(f,\delta_2)$.
Quindi $S(f,\delta_3)-s(f,\delta_3)<=S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$
Dimostrato
Innanzitutto io non capisco cosa siano gli insiemi $s(f,\delta)$ e $S(f,\delta)$ : le somme superiori e inferiori sono due numeri reali, non due insiemi. Forse lui intende che sono due insiemi quando non fisso $\delta$, ma lo faccio variare in $RR$? è forse una notazione "convenzionale"?
In secondo luogo come posso dire dalla definizione di insiemi contigui che gli insiemi $s(f,\delta)$ e $S(f,\delta)$ sono contigui se e solo se $AA \epsilon>0 EE \delta_1 , \delta_2 t.c. S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$?
In terzo luogo dire che $S(f,\delta_3)-s(f,\delta_3)<=S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$ non equivale a dire che la funzione è integrabile. Infatti per poter dire ciò è necessario calcolare appena quali siano gli estremi superiore ed inferiore rispettivamente degli insiemi delle somme inferiori e superiori (ad intuito direi che si ottengono con un partizionamento infinitamente fine).
Ma sopratutto, anche trascurando questi primi miei tre dubbi, questa dimostrazione a mio avviso è parziale, e dimostra al massimo una delle due implicazioni!
Mi rendo conto che ho molti dubbi e molto grossi. Premetto che in analisi I avevo capito molto bene l'argomento, ma lì si ragionava con i limiti e non con estremi inferiori e superiori. Vi sarei molto grato anche se riusciste ad aiutarmi a risolvere solo una piccola parte di essi.
Grazie in anticipo, Lorenzo
Risposte
1) Sì, il $\delta$ varia e ti dà le somme inferiori e superiori al variare della partizione appunto.
2) Sono contigui sì se vale quella che hai scritto, ciò però discende anche dal fatto che le somme superiori sono sempre maggiori delle somme inferiori.
3) Quella che hai scritto equivale a dire che l'estremo inferiore delle somme superiori coincide con l'estremo superiore delle somme inferiori, e tale elemento comune è l'integrale di Riemann.
2) Sono contigui sì se vale quella che hai scritto, ciò però discende anche dal fatto che le somme superiori sono sempre maggiori delle somme inferiori.
3) Quella che hai scritto equivale a dire che l'estremo inferiore delle somme superiori coincide con l'estremo superiore delle somme inferiori, e tale elemento comune è l'integrale di Riemann.
Molte grazie Luca, ci ho riflettuto bene sulla tua risposta e in effetti mi sono accorto che il mio prof in effetti usava due notazioni leggermente diverse quando indicava gli insiemi di tutte le possibili somme inferiori/superiori, oppure una particolare somma (cioè un numero reale) che si calcola dato un $\delta$ fissato.
La dimostrazione andrebbe riscritta così:
Riflettendo sulle due definizioni equivalenti di insiemi contigui, mi sono reso conto che in effetti gli insiemi delle somme inferiori e delle somme superiori sono insiemi che contengono numeri reali, quindi essendo $RR$ totalmente ordinato e valendo che $AA \delta_1 , \delta_2 " risulta " s(f,\delta_1)<=S(f,\delta_2)$, si possono applicare le proprietà di $RR$ e si giunge facilmente all'equivalenza delle due proposizioni.
E le prime due rigle sono a posto
Il problema ora è caratterizzare $"inf"(S(f))="sup"(s(f))$, cioè nel caso dell'integrazione in $RR$ era semplice dimostrare che lì si ottenevano entrambi gli estremi quando il partizionamento era infinitamente fine, ma in $RR^n$ non credo abbia più senso fare un discorso coi limiti, penso ci sia qualche strada più semplice, ma non riesco a intravederla.
Lorenzo
La dimostrazione andrebbe riscritta così:
Gli insiemi $s(f)$ e $S(f)$ sono contigui se e solo se $AA \epsilon>0 EE \delta_1 , \delta_2 t.c. S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$.
Essendo queste due proposizioni equivalenti, dimostro che $AA \epsilon>0 EE \delta_1 , \delta_2 t.c. S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$ $<=>$ $"inf"(S(f))="sup"(s(f))$
Considero una partizione $\delta_3$ più fine di entrambe le precedenti.
Risulta $S(f,\delta_3)<=S(f,\delta_1)$ e $s(f,\delta_3)>=s(f,\delta_2)$.
Quindi $S(f,\delta_3)-s(f,\delta_3)<=S(f,\delta_1)-s(f,\delta_2)<\epsilon$
Dimostrato
Riflettendo sulle due definizioni equivalenti di insiemi contigui, mi sono reso conto che in effetti gli insiemi delle somme inferiori e delle somme superiori sono insiemi che contengono numeri reali, quindi essendo $RR$ totalmente ordinato e valendo che $AA \delta_1 , \delta_2 " risulta " s(f,\delta_1)<=S(f,\delta_2)$, si possono applicare le proprietà di $RR$ e si giunge facilmente all'equivalenza delle due proposizioni.
E le prime due rigle sono a posto
Il problema ora è caratterizzare $"inf"(S(f))="sup"(s(f))$, cioè nel caso dell'integrazione in $RR$ era semplice dimostrare che lì si ottenevano entrambi gli estremi quando il partizionamento era infinitamente fine, ma in $RR^n$ non credo abbia più senso fare un discorso coi limiti, penso ci sia qualche strada più semplice, ma non riesco a intravederla.
Lorenzo
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