Integrabilità secondo Riemann e impropri

[Bob_inch]

Salve!

Ho letto su un libro questa affermazione:
si chiedeva di studiare l'integrabilità in $RR$ di $f(x)=arctan(x)arctan(2x)$, e poichè la f ha un limite per x che tende all'infinito positivo (finito), ha integrale divergente positivamente. Non ho mai trovato una definizione, o corollario che mi dica ciò. Sbaglio o è generalmente continua e limitata?

[dissonance]

Se vuoi puoi dare un'occhiata a questa discussione recente:
https://www.matematicamente.it/forum/met ... 89-10.html
abbiamo parlato proprio di questo argomento.

[gugo82]

In realtà la cosa è semplice: se $lim_(x\to +oo)f(x)=L>0$ allora esiste $a>0$ tale che $f(x)>L/2>0$ per ogni $x\in [a,+oo[$ (per permanenza del segno); se $f$ avesse integrale improprio convergente allora sarebbe finito anche il suo integrale esteso all'intervallo $[a,+oo[$, contro il fatto che $f$ è minorata da una funzione che ha integrale improprio positivamente divergente (infatti $\int_a^(+oo) L/2" d"x=lim_(x\to +oo) L/2(x-a)=+oo$). Ribaltando le disuguaglianze si giunge di nuovo ad un assurdo (infatti si trova una funzione maggiorante ad integrale improprio negativamente divergente) nel caso $lim_(x\to +oo)f(x)=L<0$.
Ne viene che ha da essere $lim_(x\to +oo)f(x)=0$ se l'integrale improprio di $f$ è convergente in $+oo$.