Integrabilità secondo Riemann

[ekans1]

Secondo la definizione di Riemann una funzione $f(x)$ è integrabile $hArr$ l'estremo superiore delle somme inferiori è uguale all'estremo inferiore delle somme superiori ed entrambi coincidono con $\int_a^bf(x)dx$

Non mi spiego come sia possibile che dei punti, estremo superiore ed estremo inferiore, possano essere uguali ad un area (l'integrale definito).

Inoltre vorrei sapere quali sono i criteri di integrabilità secondo Riemann, in cosa si differenziano rispetto a quelli di Cauchy ? Cosa cambia tra i due diversi modi di integrare ?

Ho fatto un search su internet ma non ho trovato risposte precise in merito a questi argomenti, vi sarei molto grato se mi aiutaste, grazie in anticipo .

[Seneca1]

Hai l'estremo superiore dell'insieme delle somme (di Riemann) inferiori, che è un numero reale (o un punto della retta reale, come preferisci); però ricorda che queste somme inferiori sono aree di plurirettangoli. Dietro l'estremo superiore si cela un passaggio al limite...

[ekans1]

Grazie per la risposta, per quanto riguarda l'estremo superiore e l'estremo inferiore non ci sono problemi. Vorrei però sapere le differenze tra l'integrazione con riemann e l'integrazione con cauchy riassunte in alcuni punti. Devo fare esami tra pochi giorni

[Seneca1]

Ti riferisci all'integrale di Cauchy-Mengoli? Io non l'ho studiato.