Integrabilità secondo Riemann

[gbspeedy]

Ho un insieme R={0,2]x[0,4] ed f:R->$R$ tale che f(x,y)= 3 se x,y sono razionali, 2 se x è razionale e y irrazionale,1 se x è irrazionale e y razionale, 0 se x,y sono irrazionali.
Devo provare se f è Riemann integrabilesu R. Conosco la misura di Peano jordan.Come posso creare una partizione di R?

[gugo82]

Una partizione di un rettangolo $R$ è una famiglia di "rettangolini" \(\{I_1,\ldots ,I_N\}\) tali che:

[*:1kb7xgy0] $I_n\subseteq R$ per \(n=1,\ldots ,N\);

[/*:m:1kb7xgy0]
[*:1kb7xgy0] ogni $I_n$ ha interno non vuoto;

[/*:m:1kb7xgy0]
[*:1kb7xgy0] gli interni degli $I_n$ sono a due a due disgiunti;

[/*:m:1kb7xgy0]
[*:1kb7xgy0] l'unione degli $I_n$ è tutto $R$.[/*:m:1kb7xgy0][/list:u:1kb7xgy0]

Per quanto riguarda l'esercizio, non mi sembra difficile costruire esplicitamente le somme di Riemann inferiori e superiori.

[gbspeedy]

puoi farmi chiaramente la costruzione delle somme inferiori e superiori?(così ho un esempio guida per gli altri esercizi)

[gugo82]

"gbspeedy":puoi farmi chiaramente la costruzione delle somme inferiori e superiori?(così ho un esempio guida per gli altri esercizi)

Consideriamo una partizione \(D:=\{I_1,\ldots ,I_N\}\) del rettangolo \(R=[0,2]\times [0,4]\) (con le proprietà dette sopra).
Siccome \(X_1:=\mathbb{Q}^2\), \(X_2:=\mathbb{Q}\times (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\), \(X_3:=(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\times \mathbb{Q}\) ed \(X_4:=(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})^2\) sono densi in \(\mathbb{R}^2\), gli insiemi \(R_i:=R\cap X_i\), con $i=1,2,3,4$, sono densi in $R$.
Dato che ogni rettangolo \(I_n\), con \(n=1,\ldots ,N\), ha interno non vuoto, in ogni $I_n$ cade almeno un punto di \(R_i\) per ogni $i=1,2,3,4$.
Pertanto \(\min_{I_n} f = 0\) e \(\max_{I_n} f = 3\), da cui segue:
\[
s_D(f) = \sum_{n=1}^N \min_{I_n} f\cdot m(I_n) = 0 \quad \text{e}\quad S_D(f) = \sum_{n=1}^N \max_{I_n} f\cdot m(I_n) = 3 m(R) = 24\; .
\]
Quindi...