Integrabilità secondo Lebesgue e appartenenza a spazi $L^p$
Ciao a tutti, sono nuovo del forum e questo è il mio primo messaggio, scrivo in cerca di un aiuto generale che possa "illuminarmi" sull'argomento del titolo. Posso dire di essere completamente disorientato a riguardo, intendendo con ciò che, nonostante lo studio della teoria, di fronte a richieste standard come la determinazione dell'integrabilità di una funzione non so quale conoscenze richiamare per risolvere il problema. Provo quindi a riassumervi in un breve elenco i miei principali dubbi legati all'applicazione della teoria:
- L'integrale secondo Lebesgue può dirsi estensione dell'integrale di Riemann? Ovvero, una funzione Riemann-integrabile è sempre Lebesgue-integrabile?
- Come, l'integrabilità secondo Lebesgue di una funzione è legata alla misurabilità del dominio e della funzione stessa?
- I principali teoremi della teoria, se non vado errato, sono i seguenti: teorema di Lebesgue, teorema di Beppo-Levi, teorema di Fubini e teorema di Tonelli. Come utilizzarli nella pratica?
- Proteste suggerirmi quali sono i principali insiemi a misura nulla?
- L'appartenenza ad uno spazio $L^p$, $oo$ incluso, è realizzata se e solo se la norma p converge?
Spero di essere stato il più chiaro possibile, noto io stesso che alcune di queste domande possano apparire ingenue o vaghe, ciò è tuttavia dimostrazione del fatto che proprio non riesco a "digerire" l'argomento.
Vi riporto un esercizio "tipo" che potreste sfruttare per aiutarmi:
$f: (0,+oo) \to (0,+oo)$
Così definita:
$f={(x^(-\alpha), x in (0,1)),(x^(-\beta), x in [1,+oo)):}$
Stabilire per quali $\alpha >-0$ e $\beta>-0$ la funzione è integrabile secondo Lebesgue.
Grazie infinite in anticipo a chiunque si interessi al mio "caso".
- L'integrale secondo Lebesgue può dirsi estensione dell'integrale di Riemann? Ovvero, una funzione Riemann-integrabile è sempre Lebesgue-integrabile?
- Come, l'integrabilità secondo Lebesgue di una funzione è legata alla misurabilità del dominio e della funzione stessa?
- I principali teoremi della teoria, se non vado errato, sono i seguenti: teorema di Lebesgue, teorema di Beppo-Levi, teorema di Fubini e teorema di Tonelli. Come utilizzarli nella pratica?
- Proteste suggerirmi quali sono i principali insiemi a misura nulla?
- L'appartenenza ad uno spazio $L^p$, $oo$ incluso, è realizzata se e solo se la norma p converge?
Spero di essere stato il più chiaro possibile, noto io stesso che alcune di queste domande possano apparire ingenue o vaghe, ciò è tuttavia dimostrazione del fatto che proprio non riesco a "digerire" l'argomento.
Vi riporto un esercizio "tipo" che potreste sfruttare per aiutarmi:
$f: (0,+oo) \to (0,+oo)$
Così definita:
$f={(x^(-\alpha), x in (0,1)),(x^(-\beta), x in [1,+oo)):}$
Stabilire per quali $\alpha >-0$ e $\beta>-0$ la funzione è integrabile secondo Lebesgue.
Grazie infinite in anticipo a chiunque si interessi al mio "caso".

Risposte
"Fuji":Ciao, benvenuto nel forum!
Ciao a tutti
- L'integrale secondo Lebesgue può dirsi estensione dell'integrale di Riemann? Ovvero, una funzione Riemann-integrabile è sempre Lebesgue-integrabile?Sempre. Ci sono vari modi per dimostrarlo, ma dipendono dalle definizioni che hai adottato.
- Come, l'integrabilità secondo Lebesgue di una funzione è legata alla misurabilità del dominio e della funzione stessa?Ti stupisce? In realtà Lebesgue pensava fosse possibile costruire una teoria in cui tutte le parti di $RR$ fossero misurabili e tutte le funzioni positive fossero integrabili (eventualmente con integrale $+\infty$). Ma non è così, a meno di rinunciare all'assioma della scelta.
- I principali teoremi della teoria, se non vado errato, sono i seguenti: teorema di Lebesgue, teorema di Beppo-Levi, teorema di Fubini e teorema di Tonelli. Come utilizzarli nella pratica?L'unico modo per imparare ad usarli è esercitarsi. Dopo un po' ti verrà naturale.
- Proteste suggerirmi quali sono i principali insiemi a misura nulla?Esempi interessanti sono: i singoletti, le unioni finite di singoletti, le unioni numerabili di singoletti (quindi includi $ZZ, QQ$ se sei in $RR$); in $RR^n$ con $n>1$ sono di misura nulla le curve, le superfici e gli analoghi di dimensione maggiore. Ci sono poi insiemi di misura nulla non ovvi, come l'insieme di Cantor.
- L'appartenenza ad uno spazio $L^p$, $oo$ incluso, è realizzata se e solo se la norma p converge?E' brutto detto così. La norma $p$ non è il limite di qualcosa, quindi non "converge"; io direi "se e solo se la norma $p$ è finita".
Vi riporto un esercizio "tipo" che potreste sfruttare per aiutarmi:(...)Questo, più che un esercizio sull'integrale di Lebesgue, è un esercizio sugli "integrali impropri" che in genere si vedono al primo anno. Infatti quelle sono tutte funzioni continue quindi Riemann-integrabili sugli intervalli compatti; ne consegue che la teoria che hai visto in precedenza si esporta pari pari al nuovo ambito. Consulta questa precedente discussione.
Citazione:
- Come, l'integrabilità secondo Lebesgue di una funzione è legata alla misurabilità del dominio e della funzione stessa?
Ti stupisce? In realtà Lebesgue pensava fosse possibile costruire una teoria in cui tutte le parti di ℝ fossero misurabili e tutte le funzioni positive fossero integrabili (eventualmente con integrale +∞). Ma non è così, a meno di rinunciare all'assioma della scelta.
Prima di tutto ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando. Devo correggermi a proposito della domanda sopra riportata, intendevo infatti chiedere quale relazione sussiste tra l'integrabilità secondo Lebesgue e la misurabilità della funzione così come quella del suo dominio.
Citazione:
Vi riporto un esercizio "tipo" che potreste sfruttare per aiutarmi:(...)
Questo, più che un esercizio sull'integrale di Lebesgue, è un esercizio sugli "integrali impropri" che in genere si vedono al primo anno. Infatti quelle sono tutte funzioni continue quindi Riemann-integrabili sugli intervalli compatti; ne consegue che la teoria che hai visto in precedenza si esporta pari pari al nuovo ambito. Consulta questa precedente discussione.
Ho in effetti scelto un esercizio poco utile come immaginavo.
La verifica quindi dell'integrabilità per una funzione può avvenire solo mostrando che la norma-p è finita o esiste un metodo alternativo?
No no, quell'esercizio non è affatto "poco utile". Il fatto che le tecniche adoperate facciano parte anche della teoria dell'integrazione secondo Riemann non significa che dobbiamo dimenticarcele; anzi sono degli strumenti fondamentali. Comunque, per venire alla tua domanda:
1) Ha senso parlare di integrale SOLO su insiemi misurabili e di funzioni misurabili, e neanche di tutte.
2) Certamente ha senso parlare di integrale di funzioni positive, eventualmente sarà $+\infty$.
3) Questo ci permette di definire le "norme" $p$ per $1<=p<\infty$. Le virgolette perché, a rigore, esse ancora non sono norme; lo diventeranno al punto successivo, quando avremo definito degli opportuni spazi vettoriali. Comunque, per ogni funzione misurabile $f$, è definito il numero reale (o $+\infty$) $||f||_p$.
4) Chiamiamo $L^p$ lo spazio vettoriale delle funzioni $f$ tali che $||f||_p < \infty$. Su questi spazi, con l'accortezza di identificare le funzioni coincidenti quasi ovunque, le $||*||_p$ sono delle vere norme.
Quindi per definizione una funzione è in $L^p$ se e solo se la propria norma $p$ è finita. Come verificare questo poi è un fatto tecnico che dipende da tante cose; se della tua funzione conosci l'espressione analitica allora puoi usare gli strumenti del calcolo come nell'esercizio precedente. Ma è un argomento molto vasto, ci sono un mare di teoremi sulla questione.
P.S.: Dimenticavo. Per "integrabile" cosa intendi? Presumo tu intenda di classe $L^1$, ovvero una funzione il cui modulo ha integrale finito. Per queste funzioni l'integrale è certamente ben definito, perché se $f \in L^1$ allora $int f^+, int f^-$ sono finiti e così $int f = int f^+ - int f^-$.
1) Ha senso parlare di integrale SOLO su insiemi misurabili e di funzioni misurabili, e neanche di tutte.
2) Certamente ha senso parlare di integrale di funzioni positive, eventualmente sarà $+\infty$.
3) Questo ci permette di definire le "norme" $p$ per $1<=p<\infty$. Le virgolette perché, a rigore, esse ancora non sono norme; lo diventeranno al punto successivo, quando avremo definito degli opportuni spazi vettoriali. Comunque, per ogni funzione misurabile $f$, è definito il numero reale (o $+\infty$) $||f||_p$.
4) Chiamiamo $L^p$ lo spazio vettoriale delle funzioni $f$ tali che $||f||_p < \infty$. Su questi spazi, con l'accortezza di identificare le funzioni coincidenti quasi ovunque, le $||*||_p$ sono delle vere norme.
Quindi per definizione una funzione è in $L^p$ se e solo se la propria norma $p$ è finita. Come verificare questo poi è un fatto tecnico che dipende da tante cose; se della tua funzione conosci l'espressione analitica allora puoi usare gli strumenti del calcolo come nell'esercizio precedente. Ma è un argomento molto vasto, ci sono un mare di teoremi sulla questione.
P.S.: Dimenticavo. Per "integrabile" cosa intendi? Presumo tu intenda di classe $L^1$, ovvero una funzione il cui modulo ha integrale finito. Per queste funzioni l'integrale è certamente ben definito, perché se $f \in L^1$ allora $int f^+, int f^-$ sono finiti e così $int f = int f^+ - int f^-$.
P.S.: Mi dimenticavo di una cosa. Per "integrabile" cosa intendi? Presumo tu intenda: di classe L1, ovvero una funzione il cui modulo ha integrale finito. Per queste funzioni l'integrale è certamente ben definito, perché se f∈L1 allora ∫f+,∫f- sono finiti e così ∫f=∫f+-∫f-.
Grazie ancora, stai chiarendo proprio i punti che non avevo afferrato, è raro ma a volte in rete si trova anche gente disponibile e competente. Tornando all'esercizio, anche io all'inizio mi sono trovato spiazzato sul termine "integrabile" e come tu hai inteso cosi io, ed ho supposto intendesse $L^1$.
Le mie fonti riportano che la formula $\intf=\intf^+ -\intf^-$ è valida quando almeno uno dei due $\int f^+$ o $\int f^-$ sono finiti, essendo dispense preparate dalla mia professoressa, soggette quindi ad errori

Come mai vedo soltanto $f = $ e nient'altro ?
Dove scusa?
La terz'ultima riga del tuo primo post .
$f={(x^(-\alpha), x in (0,1)),(x^(-\beta), x in [1,+oo)):}$
Non leggo la funzione ma solo $f = $ , dev'essere un problema mio.
$f={(x^(-\alpha), x in (0,1)),(x^(-\beta), x in [1,+oo)):}$
Non leggo la funzione ma solo $f = $ , dev'essere un problema mio.
@Camillo: Credo sia un problema tuo, io vedo tutto bene.
@Fuji: Si tratta di una intepretazione del termine "integrabile" che alcuni adottano. In sostanza la tua professoressa richiede che la somma $int f^+ - int f^-$ abbia senso, ovvero che non capiti il caso $infty - infty$. E questo è proprio il minimo da richiedere perché si possa parlare di integrale di Lebesgue di una funzione non positiva. Nella pratica conviene richiedere che $int |f| < \infty$ (ovvero $f \in L^1$), cosa che equivale a $intf^+, int f^- < \infty$. Vedi questo topic per una discussione al riguardo.
@Fuji: Si tratta di una intepretazione del termine "integrabile" che alcuni adottano. In sostanza la tua professoressa richiede che la somma $int f^+ - int f^-$ abbia senso, ovvero che non capiti il caso $infty - infty$. E questo è proprio il minimo da richiedere perché si possa parlare di integrale di Lebesgue di una funzione non positiva. Nella pratica conviene richiedere che $int |f| < \infty$ (ovvero $f \in L^1$), cosa che equivale a $intf^+, int f^- < \infty$. Vedi questo topic per una discussione al riguardo.