Integrabilità secondo Lebesgue
ciao a tutti, nella definizione di integrale (qui e in seguito sottointeso di Lebesgue) viene richiesto sempre che la funzione integranda sia misurabile, ma è necessario? per la sufficienza sono convinto (più o meno 
), ma il resto non mi quadra
faccio riferimento alle note del prof Ziemer (http://www.indiana.edu/~mathwz/), dalle quali sto studiando
preciso le notazioni per evitare incomprensioni
\(\displaystyle (X,\mathcal M,\mu) \) è uno spazio misura
\(\displaystyle g:X \to \bar{\mathbb R} \) è semplice se \(\displaystyle g(X) \) è un insieme finito
se \(\displaystyle g:X \to \bar{\mathbb R} \) è semplice, misurabile e non-negativa si definisce l'integrale come
\(\displaystyle \int_X g d\mu:=\sum_{i=1}^N a_i \mu(g^{-1}\{a_i\}) \) dove \(\displaystyle g(X):=\{a_1,...,a_N\} \)
se \(\displaystyle g \) è semplice, misurabile, di segno qualsiasi e almeno uno tra gli integrali di \(\displaystyle g^+ \) e \(\displaystyle g^- \) è finito, allora si definisce l'integrale come
\(\displaystyle \int_X g d\mu = \int_X g^+ d\mu + \int_X g^- d\mu \)
ora se \(\displaystyle f:X \to \bar{\mathbb R} \) è una funzione QUALSIASI (?) poniamo
\(\displaystyle \int^*_X f d\mu := \mathrm{inf} \{ \int_X g d\mu : g semplice, misurabile, g \geqslant f \mu-q.o. \} \)
\(\displaystyle \int_{* X} f d\mu := \mathrm{sup} \{\int_X g d\mu : g semplice, misurabile, g \leqslant f \mu-q.o.\} \)
diciamo che \(\displaystyle f \) è integrabile se
\(\displaystyle \int^*_X f d\mu = \int_{* X} f d\mu \)
e in tal caso indichiamo il valore comune con
\(\displaystyle \int_X f d\mu \)
quindi l'integrale è definito per funzioni qualsiasi, non necessariamente misurabili, ma quando esiste?
consideriamo il caso \(\displaystyle f \geqslant 0 \). so che esiste una successione \(\displaystyle \{g_n\}_n \) di funzioni semplici monotona crescente che converge puntualmente a \(\displaystyle f \) ; in particolare se \(\displaystyle f \) è misurabile posso prendere le \(\displaystyle g_n \) misurabili, per cui posso calcolare l'integrale delle \(\displaystyle g_n \) e quindi gli integrali superiore e inferiore di \(\displaystyle f \) esistono. Ma non è detto che questi coincidano, o sbaglio?
se riesco a dire che esiste l'integrale di \(\displaystyle f \geqslant 0 \) misurabile, poi posso calcolare l'integrali di funzioni misurabili qualsiasi spezzando parte positiva e negativa.
Ebbene?
), ma il resto non mi quadrafaccio riferimento alle note del prof Ziemer (http://www.indiana.edu/~mathwz/), dalle quali sto studiando
preciso le notazioni per evitare incomprensioni
\(\displaystyle (X,\mathcal M,\mu) \) è uno spazio misura
\(\displaystyle g:X \to \bar{\mathbb R} \) è semplice se \(\displaystyle g(X) \) è un insieme finito
se \(\displaystyle g:X \to \bar{\mathbb R} \) è semplice, misurabile e non-negativa si definisce l'integrale come
\(\displaystyle \int_X g d\mu:=\sum_{i=1}^N a_i \mu(g^{-1}\{a_i\}) \) dove \(\displaystyle g(X):=\{a_1,...,a_N\} \)
se \(\displaystyle g \) è semplice, misurabile, di segno qualsiasi e almeno uno tra gli integrali di \(\displaystyle g^+ \) e \(\displaystyle g^- \) è finito, allora si definisce l'integrale come
\(\displaystyle \int_X g d\mu = \int_X g^+ d\mu + \int_X g^- d\mu \)
ora se \(\displaystyle f:X \to \bar{\mathbb R} \) è una funzione QUALSIASI (?) poniamo
\(\displaystyle \int^*_X f d\mu := \mathrm{inf} \{ \int_X g d\mu : g semplice, misurabile, g \geqslant f \mu-q.o. \} \)
\(\displaystyle \int_{* X} f d\mu := \mathrm{sup} \{\int_X g d\mu : g semplice, misurabile, g \leqslant f \mu-q.o.\} \)
diciamo che \(\displaystyle f \) è integrabile se
\(\displaystyle \int^*_X f d\mu = \int_{* X} f d\mu \)
e in tal caso indichiamo il valore comune con
\(\displaystyle \int_X f d\mu \)
quindi l'integrale è definito per funzioni qualsiasi, non necessariamente misurabili, ma quando esiste?
consideriamo il caso \(\displaystyle f \geqslant 0 \). so che esiste una successione \(\displaystyle \{g_n\}_n \) di funzioni semplici monotona crescente che converge puntualmente a \(\displaystyle f \) ; in particolare se \(\displaystyle f \) è misurabile posso prendere le \(\displaystyle g_n \) misurabili, per cui posso calcolare l'integrale delle \(\displaystyle g_n \) e quindi gli integrali superiore e inferiore di \(\displaystyle f \) esistono. Ma non è detto che questi coincidano, o sbaglio?
se riesco a dire che esiste l'integrale di \(\displaystyle f \geqslant 0 \) misurabile, poi posso calcolare l'integrali di funzioni misurabili qualsiasi spezzando parte positiva e negativa.
Ebbene?
Risposte
Non ho capito la domanda.
Condizione necessaria affinché integrale superiore ed inferiore coincidano è che la funzione sia misurabile (se la misura è completa).
Una volta che coincidono, la funzione è detta integrabile se il loro valore comune è finito.
Condizione necessaria affinché integrale superiore ed inferiore coincidano è che la funzione sia misurabile (se la misura è completa).
Una volta che coincidono, la funzione è detta integrabile se il loro valore comune è finito.
"Rigel":
Condizione necessaria affinché integrale superiore ed inferiore coincidano è che la funzione sia misurabile (se la misura è completa).
perfetto! come posso procedere per dimostrarlo? consigliami pure testi o link
E' l'esercizio 6.8 del libro da te citato.
ok, ho tradotto male dall'inglese. quindi dovrebbe essere così
f è integrabile se l'integrale(=valore COMUNE di integrale superiore e inferiore) è finito
se f è integrabile e la misura è completa, allora f è misurabile
Però nel testo che ho linkato definisce l'integrale di funzioni misurabili e non di funzioni qualsiasi! questo mi ha creato qualche confusione.
l'esercizio da risolvere è il seguente:
Se f è integrabile, allora esiste una funzione g integrabile e misurabile tale che f=g q.o.
Dunque se la misura è completa, allora f è misurabile
grazie della pazienza
f è integrabile se l'integrale(=valore COMUNE di integrale superiore e inferiore) è finito
se f è integrabile e la misura è completa, allora f è misurabile
Però nel testo che ho linkato definisce l'integrale di funzioni misurabili e non di funzioni qualsiasi! questo mi ha creato qualche confusione.
l'esercizio da risolvere è il seguente:
Se f è integrabile, allora esiste una funzione g integrabile e misurabile tale che f=g q.o.
Dunque se la misura è completa, allora f è misurabile
grazie della pazienza
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