Integrabilità intervallo aperto

[ElCastigador]

Avrei due domande sull'integrabilità:

1)Come posso dimostrare che una funzione è integrabile in un intervallo aperto (a,b) non potendo usare Riemann?

2)Come ci si comporta se a e/o b sono infinito?Del tipo (-oo,11) oppure (1,+oo) oppure addirittura (-00,+00)

Esempio pratico:

$ e^(1/x) $ è integrabile in (-oo,0]

A me sembra banalmente falsa perchè la funzione non è proprio definita in 0,ma la risposta mi sembra davvero troppo facile?E' giusta?

[Frink1]

Esiste una teoria apposita, la teoria degli integrali impropri, con svariati teoremi e proprietà per aiutarti nella risoluzione di questi esercizi. Ti consiglio di cercarla su un libro di teoria, ogni libro di Analisi I dovrebbe esserne fornito.

[ElCastigador]

Perfetto,per quanto riguarda l'esercizio dell'esempio è giusta la mia soluzione?

[Frink1]

Quell'integrale diverge banalmente perché per $x->-oo => e^(1/x)->e^0=1$. Puoi vederlo graficamente, l'area sottesa a quel grafico è un rettangolo con un lato di lunghezza $1$ e l'altro $oo$.

[ElCastigador]

E quindi perchè diverge scusa se il limite fa 1?Non ho compreso bene...

[Frink1]

Questa che ti do è un'idea intuitiva del motivo, se vuoi una dimostrazione rigorosa e teorica cerca la teoria degli integrali impropri come ti ho già suggerito.

Guarda il grafico della funzione. L'interpretazione geometrica dell'integrale è "l'area sottesa alla curva" che si integra. Quanto vale l'area sottesa a quella curva? Sei d'accordo con me che è l'area di un rettangolo con un lato di lunghezza $1$ e l'altro di lunghezza infinita?

[psykomantisita]

Ci sono dei teoremi che ti possono aiutare:

Se riesci a trovare una funzione $g(x)<=f(x)$ che è divergente negli stessi estremi, allora puoi concludere che $f(x)$ è divergente!