Integrabilità in senso generalizzato e improprio
Salve a tutti, chiedo il vostro aiuto in quanto sto avendo difficoltà nello studio dell'integrabilità in senso generalizzato e improprio, non riesco a capire che criteri applicare per studiare la mia funzione, se ad esempio ho
$\int_{-infty}^{infty} (1/(x^3-1)) dx$
So che la mia funzione non è definita in $x=1$, ma poi come posso andare avanti per studiare la sua integrabilità sia in senso generalizzato che improprio?
$\int_{-infty}^{infty} (1/(x^3-1)) dx$
So che la mia funzione non è definita in $x=1$, ma poi come posso andare avanti per studiare la sua integrabilità sia in senso generalizzato che improprio?
Risposte
Dato che il dominio è illimitato sia superiormente che inferiormente e in $1$ non è definita, devo spezzare in $4$ problemi: uno a $-\infty$, uno a $1^-$, uno a $1^+$ e l'ultimo a $+\infty$.
Ma che vuol dire in senso generalizzato e improprio? Alla Riemann e alla Cauchy?
Intanto ringrazio entrambi per le risposte.
Intendo integrazione alla Riemann, e "generalizzato" e "improprio" è indicato sia dal prof. che dal libro (se ho capito bene il senso della tua prima domanda.
)
Dopo aver individuato questi intervalli come mi devo comportare, cioè che criteri devo usare per per vedere se la mia funzione è integrabile in senso generalizzato e improprio
"Bremen000":
Ma che vuol dire in senso generalizzato e improprio? Alla Riemann e alla Cauchy?
Intendo integrazione alla Riemann, e "generalizzato" e "improprio" è indicato sia dal prof. che dal libro (se ho capito bene il senso della tua prima domanda.
)"otta96":
Dato che il dominio è illimitato sia superiormente che inferiormente e in $ 1 $ non è definita, devo spezzare in $ 4 $ problemi: uno a $ -\infty $, uno a $ 1^- $, uno a $ 1^+ $ e l'ultimo a $ +\infty $.
Dopo aver individuato questi intervalli come mi devo comportare, cioè che criteri devo usare per per vedere se la mia funzione è integrabile in senso generalizzato e improprio
Quelli studiati nella teoria, che andrebbe studiata PRIMA di mettersi a fare esercizi.
Comunque in questo caso quello da usare è il confronto asintotico.
Comunque in questo caso quello da usare è il confronto asintotico.
Ciao cozzaciccio,
L'integrale proposto non converge. Invece si ha:
$PV \int_{-infty}^{infty} (1/(x^3-1)) dx = - \frac{\sqrt{3}}{3}\pi $
L'integrale proposto non converge. Invece si ha:
$PV \int_{-infty}^{infty} (1/(x^3-1)) dx = - \frac{\sqrt{3}}{3}\pi $
"otta96":
Quelli studiati nella teoria, che andrebbe studiata PRIMA di mettersi a fare esercizi.
Comunque in questo caso quello da usare è il confronto asintotico.
Guarda ho studiato analisi 1 quasi tre anni fa e veramente non ricordo criteri per la convergenza degli integrali, e sul mio vecchio libro da semplicemente le definizioni, per questo ho aperto il thread.
"pilloeffe":
Ciao cozzaciccio,
L'integrale proposto non converge. Invece si ha:
$ PV \int_{-infty}^{infty} (1/(x^3-1)) dx = - \frac{\sqrt{3}}{3}\pi $
Sì esatto, è proprio il risultato, l'obbiettivo dell'esercizio era infatti quello di vedere se la funzione sia integrabile in senso generalizzato e improprio, poichè in quel caso il "valore principale" corrisponderebbe al valore dell'integrale stesso, ma come già detto non ricordo i criteri di convergenza e di integrabilità, quindi ve ne sarei grato se mi possiate, in qualche modo, fare un breve riassunto di tali criteri.
"cozzaciccio":
Guarda ho studiato analisi 1 quasi tre anni fa e veramente non ricordo criteri per la convergenza degli integrali
Se non sono sul tuo libro di testo basta che fai una ricerca su Internet di "Criteri di convergenza integrali impropri" o "Integrali impropri notevoli": dovresti trovare facilmente ciò che ti serve. Comunque, applicandoli, si vede subito che l'integrale proposto non converge. Il risultato che ho scritto si riferisce al Valore Principale alla Cauchy (Principal Value in inglese) che ti consiglio di rivedere sul tuo libro di testo e, qualora non trovassi nulla, di nuovo con una ricerca su Internet, se non proprio su questo stesso sito, dove dovresti trovare parecchio materiale...
Comunque, brevemente, data la singolarità in $c = 1 \in (-infty, +\infty)$:
$ PV \int_{-infty}^{infty} (1/(x^3-1)) dx := \lim_{\epsilon \to 0^+} [\int_{1 - 1/\epsilon}^{1 - \epsilon} (1/(x^3-1)) dx + \int_{1 + \epsilon}^{1 + 1/ \epsilon} (1/(x^3-1)) dx] = ... = - \frac{\sqrt{3}}{3}\pi $
"cozzaciccio":
Intanto ringrazio entrambi per le risposte.
[quote="Bremen000"]Ma che vuol dire in senso generalizzato e improprio? Alla Riemann e alla Cauchy?
Intendo integrazione alla Riemann, e "generalizzato" e "improprio" è indicato sia dal prof. che dal libro (se ho capito bene il senso della tua prima domanda.
)[...] [/quote]Ciao, non metto in dubbio che le parole "improprio" e "generalizzato" appaiano sul tuo libro di testo o sugli appunti del tuo prof; solo che non so che significato attribuisci a tali termini e ti chiedevo di spiegarmelo (perché non è una denominazione univoca). Non ho nemmeno capito se per te è [ improprio e generalizzato] o [ (improprio) e (generalizzato)]. Cioè se attribuisci a quelle due parole due significati diversi o usi semplicemente la locuzione [ improprio e generalizzato] per indicare una singola cosa.
In ogni caso, come ti ha detto pilloeffe quell'integrale fatto "in senso improprio alla Riemann" non converge ma lo fa nel senso di Cauchy.
"Bremen000":
[quote="cozzaciccio"]Intanto ringrazio entrambi per le risposte.
[quote="Bremen000"]Ma che vuol dire in senso generalizzato e improprio? Alla Riemann e alla Cauchy?
Intendo integrazione alla Riemann, e "generalizzato" e "improprio" è indicato sia dal prof. che dal libro (se ho capito bene il senso della tua prima domanda.
)[...] [/quote]Ciao, non metto in dubbio che le parole "improprio" e "generalizzato" appaiano sul tuo libro di testo o sugli appunti del tuo prof; solo che non so che significato attribuisci a tali termini e ti chiedevo di spiegarmelo (perché non è una denominazione univoca). Non ho nemmeno capito se per te è [ improprio e generalizzato] o [ (improprio) e (generalizzato)]. Cioè se attribuisci a quelle due parole due significati diversi o usi semplicemente la locuzione [ improprio e generalizzato] per indicare una singola cosa.
In ogni caso, come ti ha detto pilloeffe quell'integrale fatto "in senso improprio alla Riemann" non converge ma lo fa nel senso di Cauchy.[/quote]
Scusa ma non capivo cosa intendessi con quella domanda, ho frainteso
Io, per come mi è stato spiegato intendo [(improprio) e (generalizzato)].
Comunque sono andato a farmi un bel ripassino di analisi 1, e ho cercato di svolgerlo solo, il risultato che ho ottenuto è lo stesso trovato da pilloeffe.
Ho però alcuni dubbi sul modo di ragionare per vedere se l'integrale è convergente o meno, mi spiego meglio, nel'esercizio da me postato ho $1/(x^3-1)$, e in teoria per confronto asintotico posso considerare $1/x^3$, che appunto dovrebbe essere divergente poichè $3>1$, per le regole che sono riuscito a trovare su internet, in quando sul mio libro purtroppo ho solo le definizioni e teoremi non legati alla risoluzione di tali esercizi.
Il mio dubbio riguarda proprio $3>1$, cioè vorrei capire del perchè in tal caso l'integrale converge, ho provato a cercare una risposta, e ho calcolato l'Integrale
$(1)$$\int_{-infty}^{+infty} 1/(x^3) dx $
il cui risultato è però $[-1/(2x^2)]$ tra $-infty$ e $+infty$ che dovrebbe fare appunto 0.
Da ciò deduco che ho fatto qualche errore(magari negli estremi di integrazione di $(1)$ o magari non ho capito bene qualcosa, sapreste spiegarmi il perchè per $3>1$ converge?
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