Integrabilità in senso generalizzato

[SiMa1]

Salve, vorrei proporre alla vostra attenzione il seguente esercizio.

dato la funzione $ f(x)=ln (1+(1/x^a)) $ studiarne l'integrabilità in senso generalizzato, al variare del parametro a>0 e nell'intervallo $ x in ]0,+oo [ $ .

Io ho pensato di risolverla applicando il metodo del confronto, sapendo che $ f(x)= 1/x^a $ è integrabile in 0 per 01, mentre il $ f(x)= ln(x) $ è integrabile in senso generalizzato quando tende a 0 da destra.

Oppure avrei pensato di studiare l'asintoticità della funzione integrale al variare del parametro a della funzione $ f(x)= int_(0)^(+oo) ln (1+(1/x^a)) dx $ ma svolgendo l'integrale viene fuori qualcosa di molto complesso che non sono stato in grado di svolgere.

Grazie in atipico a chi mi darà una mano o anche un semplice consiglio!

[Noisemaker]

be cercare di risolvere l'integrale, con molta pazienza, forse, ci si riesce ... tuttavia è sufficiente stabilire se quell'integrale risulta convergente o meno nell'intervallo $(0;+\infty);$ poichè non ci sono limitazioni al paramentro $a$ lo supporremo reale, $a\in \RR.$ Naturalmente se $a=0$ avremo che
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{1}{x^a}\right)dx=\ln 2\int_{0}^{+\infty}dx\to\mbox{non converge;}
\end{align}
prova a cosiderare i casi $a>0;a<0.$

[SiMa1]

Noisemaker, innanzitutto grazie per il consiglio . Posso solo dire che svolgere l'integrale significa discuterlo per ogni valore di a (non ho fatto ancora le serie) visto che l'unico metodo di integrazione utile è Hermite. L'unica, a questo punto è usare il teorema del confronto. Dopo qualche calcolo sul confronto con l'iperbole ed il logaritmo mi viene fuori però qualcosa di complesso da discutere in maniera formale, e per correttezza, non volendo forviare nessuno, ho pensato di farla rimanere solo una bozza.
Detto questo spero di avere altri consigli in merito, visto che è l'unico esercizio del libro di testo che non ho svolto in maniera esauriente XD !

Comunque a>0 per costruzione.

[Noisemaker]

be ma se $a>0$ allora hai che, essendo l'integranda psoitiva in $(0;+\infty),$ hai che quando $x\to+\infty$ hai che
\begin{align}
\ln\left(1+\frac{1}{x^a}\right)\sim \frac{1}{x^a} \to\mbox{ converge se }\quad a>1;
\end{align}
quando $x\to0^+$ ha che
\begin{align}
\ln\left(1+\frac{1}{x^a}\right) \to\mbox{converge }\quad \forall \,\,a.
\end{align}