Integrabilità funzioni monotone

[maxpix]

Buona sera a tutti, c'è qualcuno con una buona dose di pazienza che mi spieghi la dimostrazione dell'integrabilità delle funzioni monotone?
Grazie

[gugo82]

Dipende... Come ti è stata data?
C'è una via facile ed una "difficile".

[maxpix]

Non ho seguito le lezioni quindi non idea di come è stata fatta

[maxpix]

Penso di aver capito quasi tutta la dimostrazione, mi manca il passo finale.
Allora sono arrivato a capire che $int_(a)^(b) phi_2(x) dx - int_(a)^(b) phi_1(x) dx = f(b)-f(a) ((b-a)/n)$, dove le $phi(x)$ rappresentano rispettivamente somma superiore e somma inferiore di Riemann e $f(b)-f(a)$ e $(b-a)/n$ rappresentano rispettivamente l'altezza e la base della "colonna" formata dai rettangoli "residui".
Quello che non capisco è come affermare che la differenza tra le due $phi(x)$ sia <= $epsilon $

[gugo82]

Fissiamo una decomposizione \(D:=\{a=x_0 Se supponiamo che \(f\) sia crescente, così per fissare le idee, abbiamo:
\[
\forall i = 1,\ldots , n \quad \left\{ \begin{split}
\inf_{[x_{i-1} , x_i]} f &= f(x_{i-1})\\
\sup_{[x_{i-1} , x_i]} f &= f(x_i)
\end{split}\right.
\]
dunque:
\[
\begin{split}
s_D(f) &= \sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\cdot (x_i - x_{i-1})\\
S_D(f) &= \sum_{i=1}^n f(x_i)\cdot (x_i - x_{i-1})
\end{split}
\]
e perciò:
\[
S_D(f) - s_D(f) = \sum_{i=1}^n \left( f(x_i) - f(x_{i-1})\right)\cdot (x_i - x_{i-1})\; .
\]
Detta \(\delta >0\) l'ampiezza di \(D\), ossia:
\[
\delta = \max \{ x_1-x_0 , x_2-x_1,\cdots x_n - x_{n-1}\}\; ,
\]
abbiamo:
\[
\begin{split}
S_D(f) - s_D(f) &\leq \delta \sum_{i=1}^n \left( f(x_i) - f(x_{i-1})\right)\\
&= \delta \cdot \left( f(b) - f(a)\right)
\end{split}
\]
e da qui si conclude, poiché basta scegliere una decomposizione con ampiezza:
\[
\delta < \frac{\varepsilon}{f(b) - f(a)}
\]
per avere \(S_D(f) - s_D(f) <\varepsilon\).