Integrabilità funzione di 2 variabili
Buongiorno, sto trovando difficoltà a risolvere questo esercizio:
determinare per quali $a in RR$, $f(x,y)=(pi/2 - arctan(|y|^a))/(1+x^2+|y|)$ è $L^1(RR^2)$
$f(x,y)=f(-x,y)$ e $f(x,y)=f(x,-y)$, dunque posso studiare l'integrabilità in $(0,+infty)$
$\int_(RR^2) f(x,y) dxdy$ $= \int_0^(+infty) int_0^(+infty) f(x,y)dxdy$
integrando prima in $x$ ottengo
$\int_0^(+infty) (pi^2-2pi*arctan(|y|^a))/(4sqrt(1+|y|))dy$
da cui ottengo come punti critici per l'integrabilità solo $0$ e $+infty$ (spero di non aver sbagliato) : chiamando $h(y)$ l'integranda
in $U(0)$: se $a>0$ $h(y) ~ (pi^2-2pi|y|^a)/4 ~ -C|y|^a$ integrabile sse $a> -1$ e dunque $a>0$
se $a=0$ la funzione è integrabile ($arctan(|y|^a)=pi/4$
tuttavia se $a<0$ non riesco a trovare un asintotico o una maggiorazione che mi possa aiutare per determinarne l'integrabilità
in $U(+infty)$ se $a>0$ $h(y) ~ (pi^2-2pi*arctan(|y|^a))/(|y|^(1/2))$ ma ora anche qui non capisco come poter agire: $arctan(|y|^a)<=|y|^a$ ma la frazione iniziale non risulta più piccola.
se $a=0$ $h(y) ~ C/|y|^(1/2)$ che non è integrabile
se $a<0$ $h(y) ~ -C/|y|^(1/2-a)$ integrabile sse $a<-1/2$.
tuttavia la soluzione è $a>1/2$ .
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille
determinare per quali $a in RR$, $f(x,y)=(pi/2 - arctan(|y|^a))/(1+x^2+|y|)$ è $L^1(RR^2)$
$f(x,y)=f(-x,y)$ e $f(x,y)=f(x,-y)$, dunque posso studiare l'integrabilità in $(0,+infty)$
$\int_(RR^2) f(x,y) dxdy$ $= \int_0^(+infty) int_0^(+infty) f(x,y)dxdy$
integrando prima in $x$ ottengo
$\int_0^(+infty) (pi^2-2pi*arctan(|y|^a))/(4sqrt(1+|y|))dy$
da cui ottengo come punti critici per l'integrabilità solo $0$ e $+infty$ (spero di non aver sbagliato) : chiamando $h(y)$ l'integranda
in $U(0)$: se $a>0$ $h(y) ~ (pi^2-2pi|y|^a)/4 ~ -C|y|^a$ integrabile sse $a> -1$ e dunque $a>0$
se $a=0$ la funzione è integrabile ($arctan(|y|^a)=pi/4$
tuttavia se $a<0$ non riesco a trovare un asintotico o una maggiorazione che mi possa aiutare per determinarne l'integrabilità
in $U(+infty)$ se $a>0$ $h(y) ~ (pi^2-2pi*arctan(|y|^a))/(|y|^(1/2))$ ma ora anche qui non capisco come poter agire: $arctan(|y|^a)<=|y|^a$ ma la frazione iniziale non risulta più piccola.
se $a=0$ $h(y) ~ C/|y|^(1/2)$ che non è integrabile
se $a<0$ $h(y) ~ -C/|y|^(1/2-a)$ integrabile sse $a<-1/2$.
tuttavia la soluzione è $a>1/2$ .
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
Ciao Aletzunny,
Benché in effetti le costanti siano inessenziali in questo caso, scriviamo quelle giuste:
$ \int_(\RR^2) f(x,y) \text{d}x \text{d}y = 4 \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} f(x,y) \text{d}x \text{d}y $
Se integri prima in $\text{d}x $ a me risulta
$4 \int_0^{+\infty} [\int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(1+x^2+|y|) \text{d}x]\text{d}y = 4 \int_0^{+\infty} [\int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/[(1 + |y|)(1+(x/\sqrt{1 +|y|})^2)] \text{d}x]\text{d}y = $
$ = 4 \int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(1 + |y|) [\int_0^{+\infty} 1/(1+(x/\sqrt{1 +|y|})^2) \text{d}x]\text{d}y = $
$ = 4 \int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(1 + |y|) [\pi/2 \sqrt{1 +|y|}]\text{d}y = 2\pi \int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y = $
$ = 2\pi[\int_0^c (pi/2 - arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y + \int_c^{+\infty} (arctan(1/|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y] $
ricordando che essendo $|y|^a > 0 $ vale la relazione $arctan(|y|^a) + arctan(1/|y|^a) = \pi/2 $
Benché in effetti le costanti siano inessenziali in questo caso, scriviamo quelle giuste:
$ \int_(\RR^2) f(x,y) \text{d}x \text{d}y = 4 \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} f(x,y) \text{d}x \text{d}y $
Se integri prima in $\text{d}x $ a me risulta
$4 \int_0^{+\infty} [\int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(1+x^2+|y|) \text{d}x]\text{d}y = 4 \int_0^{+\infty} [\int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/[(1 + |y|)(1+(x/\sqrt{1 +|y|})^2)] \text{d}x]\text{d}y = $
$ = 4 \int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(1 + |y|) [\int_0^{+\infty} 1/(1+(x/\sqrt{1 +|y|})^2) \text{d}x]\text{d}y = $
$ = 4 \int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(1 + |y|) [\pi/2 \sqrt{1 +|y|}]\text{d}y = 2\pi \int_0^{+\infty} (pi/2 - arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y = $
$ = 2\pi[\int_0^c (pi/2 - arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y + \int_c^{+\infty} (arctan(1/|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y] $
ricordando che essendo $|y|^a > 0 $ vale la relazione $arctan(|y|^a) + arctan(1/|y|^a) = \pi/2 $
Perdonami, ma il primo integrale in $dx$ non è corretto anche come l'ho calcolato io?
Onestamente non mi sto trovando nel tuo procedimento
Onestamente non mi sto trovando nel tuo procedimento
Perché dove ho dubbi sono: i punti critici li ho individuati correttamente?
Ed inoltre che errori ho commesso negli asintotici (per alcuni $a$ non riesco a ricordarmi a nulla)
Ed inoltre che errori ho commesso negli asintotici (per alcuni $a$ non riesco a ricordarmi a nulla)
Aletzunny,
Ho come l'impressione che tu non legga attentamente le risposte che ti vengono date, non soltanto le mie...
Rileggi attentamente ciò che ti ho scritto.
Che cos'è che non ti torna?
Mi spieghi come faresti a non individuare correttamente i punti critici $0$ e $+\infty$? Ci sono solo quelli...
Probabilmente qui intendevi scrivere "ricondurmi", non ricordarmi: se non riesci a vedere la soluzione, consiglio caldamente di rivedere gli integrali impropri notevoli, perché ti ho già scritto praticamente tutto ciò che ti serve:
$ 2\pi[\int_0^c (pi/2 - arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y + \int_c^{+\infty} (arctan(1/|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y] = $
$ = 2\pi[\int_0^c (pi/2)/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y - \int_0^c (arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y+ \int_c^{+\infty} (arctan(1/|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y] $
Il primo integrale non dipende da $a$ ed è convergente. Nel secondo cosa succede nel punto critico $0$ ? Nel terzo integrale cosa accade nel punto critico $+\infty $ ?
Ho come l'impressione che tu non legga attentamente le risposte che ti vengono date, non soltanto le mie...
"Aletzunny":
Perdonami, ma il primo integrale in $dx$ non è corretto anche come l'ho calcolato io?
Rileggi attentamente ciò che ti ho scritto.
"Aletzunny":
Onestamente non mi sto trovando nel tuo procedimento
Che cos'è che non ti torna?
"Aletzunny":
Perché dove ho dubbi sono: i punti critici li ho individuati correttamente?
Mi spieghi come faresti a non individuare correttamente i punti critici $0$ e $+\infty$? Ci sono solo quelli...
"Aletzunny":
Ed inoltre che errori ho commesso negli asintotici (per alcuni a non riesco a ricordarmi a nulla)
Probabilmente qui intendevi scrivere "ricondurmi", non ricordarmi: se non riesci a vedere la soluzione, consiglio caldamente di rivedere gli integrali impropri notevoli, perché ti ho già scritto praticamente tutto ciò che ti serve:
$ 2\pi[\int_0^c (pi/2 - arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y + \int_c^{+\infty} (arctan(1/|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y] = $
$ = 2\pi[\int_0^c (pi/2)/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y - \int_0^c (arctan(|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y+ \int_c^{+\infty} (arctan(1/|y|^a))/(\sqrt{1 +|y|}) \text{d}y] $
Il primo integrale non dipende da $a$ ed è convergente. Nel secondo cosa succede nel punto critico $0$ ? Nel terzo integrale cosa accade nel punto critico $+\infty $ ?
grazie allo sostituzione dell'arcontangente ora mi è tutto chiaro e giungo al risultato. per i punti critici il dubbio mi è venuto su $0$ perché di fatto non mi crea problemi di esistenza della funzione salvo che $a<0$ perchè si avrebbe cancellazione esatta?Oppure mi sto perdendo qualcosa?(niente di più facile)
"pilloeffe":
Il primo integrale non dipende da $a$ ed è convergente. Nel secondo cosa succede nel punto critico $0$ ? Nel terzo integrale cosa accade nel punto critico $+\infty $ ?
Perché non rispondi alle domande?
Comincia col considerare cosa accade agli ultimi due integrali nei diversi casi $a < 0 $, $a = 0 $ e $a > 0 $:
per $ a = 0 $ si vede subito che converge il secondo integrale (perché analogo al primo), ma diverge il terzo.
Lo stesso accade per $a < 0 $; quindi non ti resta che analizzare cosa accade nel caso $a > 0 $
"pilloeffe":
[quote="pilloeffe"]Il primo integrale non dipende da $a$ ed è convergente. Nel secondo cosa succede nel punto critico $0$ ? Nel terzo integrale cosa accade nel punto critico $+\infty $ ?
Perché non rispondi alle domande?
Comincia col considerare cosa accade agli ultimi due integrali nei diversi casi $a < 0 $, $a = 0 $ e $a > 0 $:
per $ a = 0 $ si vede subito che converge il secondo integrale (perché analogo al primo), ma diverge il terzo.
Lo stesso accade per $a < 0 $; quindi non ti resta che analizzare cosa accade nel caso $a > 0 $[/quote]
Allora una volta arrivato alla forma da te proposta io ho ragionato cosi: spero sia corretto
In generale $arctan(x)<=x$ quindi
In un intorno di $0$ (che non mi è chiaro perché sia punto critico e qui penso sia fondamentale capirlo!)
$arctan(|y|^a)<|y|^a$ e $sqrt(1+|y|)->1$ quindi rimango con $|y|^a$ integrabile sse $-a<1$, cioè $a> -1$
In un intorno di $+infty$ $sqrt(1+|y|)->|y|^(1/2)$ e dunque
$arctan(1/|y|^a)/|y|^(1/2)<=1/|y|^a*1/|y|^(1/2)$ integrabile sse $a+1/2>1$ cioè $a>1/2$
Riguardando ho notato però che avendo usato una maggiorazione potrei aver saltato dei valori.
Considerando allora in $U(0)$ se $a>0$ allora $<=$ può diventare $~$
Se $a=0$ diventa $(pi/4)/(sqrt(1+|y|))$
se $a<0$ diventa $(pi/2)/(sqrt(1+|y|))$
In $U(+infty)$ se $a>0$ allora $<=$ può diventare $~$
Se $a=0$ diventa $(pi/4)/|y|^(1/2)$ non integrabile perché $1/2 not > 1$
Se $a<0$ diventa $(pi/2)/|y|^(1/2)$ non integrabile perché $1/2 not >1$
Considerando allora in $U(0)$ se $a>0$ allora $<=$ può diventare $~$
Se $a=0$ diventa $(pi/4)/(sqrt(1+|y|))$
se $a<0$ diventa $(pi/2)/(sqrt(1+|y|))$
In $U(+infty)$ se $a>0$ allora $<=$ può diventare $~$
Se $a=0$ diventa $(pi/4)/|y|^(1/2)$ non integrabile perché $1/2 not > 1$
Se $a<0$ diventa $(pi/2)/|y|^(1/2)$ non integrabile perché $1/2 not >1$
Se devo essere onesto, ora dovrebbe tornare tutto tranne il fatto che non mi è ancora chiaro perché $0$ possa essere un punto di non integrabilità e quindi vada studiato
Grazie
Grazie
Non ho tuttavia capito se il mio tentativo di conclusione dell'esercizio sia corretto.
Grazie
Grazie
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Grazie
Scusa Aletzunny,
Ma qual è il problema? Una volta accertato che per $a <= 0 $ l'integrale proposto non può convergere, rimane da analizzare il solo caso $a > 0 $. Visto che è tutto positivo, si possono anche togliere i moduli sicché i tre integrali dentro la parentesi quadra diventano i seguenti:
$ \int_0^c (pi/2)/(\sqrt{1 +y}) \text{d}y - \int_0^c (arctan(y^a))/(\sqrt{1 +y}) \text{d}y+ \int_c^{+\infty} (arctan(1/y)^a)/(\sqrt{1 +y}) \text{d}y $
Il primo integrale non dipende da $a$ ed è convergente; la funzione integranda del secondo nell'intorno di $0$ si comporta come $y^a$, pertanto è integrabile per $a > - 1 $, ma siccome abbiamo già stabilito che deve essere $a > 0 $ per tali valori è integrabile; la funzione integranda del terzo integrale nell'intorno di $+\infty $ si comporta come $1/y^{a + 1/2} $, pertanto è integrabile per $a + 1/2 > 1 \iff a > 1/2 $
In definitiva l'integrale proposto converge per $a > 1/2 $
Ma qual è il problema? Una volta accertato che per $a <= 0 $ l'integrale proposto non può convergere, rimane da analizzare il solo caso $a > 0 $. Visto che è tutto positivo, si possono anche togliere i moduli sicché i tre integrali dentro la parentesi quadra diventano i seguenti:
$ \int_0^c (pi/2)/(\sqrt{1 +y}) \text{d}y - \int_0^c (arctan(y^a))/(\sqrt{1 +y}) \text{d}y+ \int_c^{+\infty} (arctan(1/y)^a)/(\sqrt{1 +y}) \text{d}y $
Il primo integrale non dipende da $a$ ed è convergente; la funzione integranda del secondo nell'intorno di $0$ si comporta come $y^a$, pertanto è integrabile per $a > - 1 $, ma siccome abbiamo già stabilito che deve essere $a > 0 $ per tali valori è integrabile; la funzione integranda del terzo integrale nell'intorno di $+\infty $ si comporta come $1/y^{a + 1/2} $, pertanto è integrabile per $a + 1/2 > 1 \iff a > 1/2 $
In definitiva l'integrale proposto converge per $a > 1/2 $
Ok come il mio tentativo postato sopra! Ciò che non mi è chiaro è perché l'intorno di $0$ crei problemi...ecco tutto qui
Grazie
Grazie
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