Integrabilità di funzioni monotone

[marcptoni1996]

Salve, premetto che ho già letto i vari enunciati e dimostrazioni di tale teorema, ma studiandolo sul mio libro mi è venuto un dubbio...
Chiamando $ m_i$ l'estremo inferiore di f nell'intervallo $ (x_(i-1),x_i)$ e $M_i$ l'estremo superiore di f in$ (x_(i-1),x_i)$ il mio libro dice che $ f(x_(i-1))<= m_i<=M_i<=f(x_i)$
Il mio dubbio sarà stupido ma se $m_i$ è l'estremo inferiore in quell'intervallo come è possibile che $f(x_(i-1))$ sia minore o uguale di quest'ultimo? Il mio dubbio riguarda naturalmente il minore non l'uguale... E allo stesso modo per l'estremo superiore come può essere maggiore?

[Wilde1]

(Nell'ipotesi f si monotona)
Sull'intervallo $[0,1]$ prendi la funzione $f(x)=0 \if x=0$ e $f(x)=x+1 \if x in (0,1]$
cosa ottieni??

[marcptoni1996]

"Wilde":(Nell'ipotesi f si monotona)
Sull'intervallo $[0,1]$ prendi la funzione $f(x)=0 \if x=0$ e $f(x)=x+1 \if x in (0,1]$
cosa ottieni??

quindi in questo caso l'estremo inferiore è 1?