Integrabilità delle funzioni Lipschitziane
Qualcuno potrebbe spiegarmi una dimostrazione di tale teorema? Il mio docente è partito dal prendere una decomposizione
D={ xi= a + i(b-a)/n}, e poi calcolando le varie sommatorie delle somme superiori e inferiori. Ma ho capito poco quanto niente
. Grazie a tutti per le risposte.
D={ xi= a + i(b-a)/n}, e poi calcolando le varie sommatorie delle somme superiori e inferiori. Ma ho capito poco quanto niente
. Grazie a tutti per le risposte.
Risposte
In realtà c'è poco da dimostrare... Una funzione lipschitziana è continua, e le funzioni continue sono integrabili sui compatti.
@gugo
Può darsi che il docente abbia dimostrato il caso lipschitziano e non quello continuo (dato che nel secondo caso ci vuole la continuità uniforme, che - FORSE - a ingegneria non si fa).
@vito92 Dovresti dirci da dove non capisci - per esempio la definizione di integrabilità/integrale ti è chiara ?
Può darsi che il docente abbia dimostrato il caso lipschitziano e non quello continuo (dato che nel secondo caso ci vuole la continuità uniforme, che - FORSE - a ingegneria non si fa).
@vito92 Dovresti dirci da dove non capisci - per esempio la definizione di integrabilità/integrale ti è chiara ?
[OT]
Vabbé, allora che studiare a fare la definizione di integrale di Riemann se non si riesce nemmeno a far vedere che una funzione continua è integrabile?
[/OT]
"ViciousGoblin":
@gugo
Può darsi che il docente abbia dimostrato il caso lipschitziano e non quello continuo (dato che nel secondo caso ci vuole la continuità uniforme, che - FORSE - a ingegneria non si fa).
Vabbé, allora che studiare a fare la definizione di integrale di Riemann se non si riesce nemmeno a far vedere che una funzione continua è integrabile?
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Detto bene, queste cose non si dovrebbero trattare ad ingegneria, ma il nostro docente ci sta facendo smadonnare come non mai (qui c'è il nostro programma, se mai qualcuno volesse darci un'occhiata http://www.dmmm.uniroma1.it/~daniele.an ... io_am1.pdf)...Comunque, abbiamo trattato anche l'uniforme continuità, come potete ben vedere sul programma (abbiamo fatto tutto praticamente). Credo che la definizione di integrabilità secondo Riemann mi sia chiara. Però inizio a non capirci niente quando, dalla differenza tra somma superiore e somma inferiore, lui passa alla sommatoria dell'oscillazione della funzione, nell'intervallo considerato, moltiplicata per l'intervallo stesso. Se volete, provo a scannerizzare la pagina di appunti, così forse riuscite ad aiutarmi meglio.
"vito92":
Detto bene, queste cose non si dovrebbero trattare ad ingegneria
E perchè mai non si dovrebbero trattare?
Da che io ricordi queste cose si sono sempre studiate in Analisi ad ingegneria (e, bada bene, l'avverbio "sempre" non è usato a caso: ho libri usati ad ingegneria sia ai tempi di tuo nonno, sia ai tempi di tuo padre, e lì questa roba c'è).
Solo negli ultimi anni, nei quali l'università italiana si sta appiattendo insensatamente su un modello anglosassone (che produce mediamente studenti peggiori, per lo più con abilità di calcolo meccaniche ma con basi teoriche molto carenti), questi argomenti sono stati "accantonati" da qualche docente.
"vito92":
ma il nostro docente ci sta facendo smadonnare come non mai (qui c'è il nostro programma, se mai qualcuno volesse darci un'occhiata http://www.dmmm.uniroma1.it/~daniele.an ... io_am1.pdf)...Comunque, abbiamo trattato anche l'uniforme continuità, come potete ben vedere sul programma (abbiamo fatto tutto praticamente).
E fa bene.
Ne vedrai i benefici appena dovrai scrivere una tesi "seria" oppure se andrai a fare ricerca (cfr. qui, dal quarto post in poi).
"vito92":
Credo che la definizione di integrabilità secondo Riemann mi sia chiara. Però inizio a non capirci niente quando, dalla differenza tra somma superiore e somma inferiore, lui passa alla sommatoria dell'oscillazione della funzione, nell'intervallo considerato, moltiplicata per l'intervallo stesso. Se volete, provo a scannerizzare la pagina di appunti, così forse riuscite ad aiutarmi meglio.
Ad ogni modo, dire che una funzione \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) è di Lipschitz significa asserire che esiste una costante \(L\geq 0\) tale che:
\[
\forall x,y\in [a,b],\quad |f(x)-f(y)|\leq L\ |x-y|\; ;
\]
in particolare, dalla condizione precedente (che si chiama condizione di Lipschitz) segue che \(f\) è continua in \([a,b]\), sicché, per il teorema di Weierstrass, essa prende massimo e minimo in ogni compatto contenuto in \([a,b]\).
Ricordato ciò, prendiamo una decomposizione \(D=\{a=x_0
\begin{split}
s(f;D) &:= \sum_{n=0}^N \inf_{[x_n,x_{n+1}]} f\ (x_{n+1}-x_n)\\
&= \sum_{n=0}^N \min_{[x_n,x_{n+1}]} f\ (x_{n+1}-x_n) &\text{(per Weierstrass)}\\
&= \sum_{n=0}^N f(\xi_n)\ (x_{n+1}-x_n)\\
S(f;D) &:= \sum_{n=0}^N \sup_{[x_n,x_{n+1}]} f\ (x_{n+1}-x_n) \\
&= \sum_{n=0}^N \max_{[x_n,x_{n+1}]} f\ (x_{n+1}-x_n) &\text{(per Weierstrass)}\\
&= \sum_{n=0}^N f(\eta_n)\ (x_{n+1}-x_n)
\end{split}
\]
ove \(\xi_n,\ \eta_n\in [x_n, x_{n+1}]\) sono due punti in cui \(f\) assume il minimo ed il massimo locali; allora, chiamata \(\delta (D)\) l'ampiezza della decomposizione \(D\), cioè la quantità:
\[
\delta (D):= \max \{ x_1-x_0,\ x_2-x_1,\ldots ,x_N-x_{N-1}, x_{N+1}-x_N\}\; ,
\]
abbiamo:
\[
\begin{split}
S(f;D)-s(f;D) &= \sum_{n=0}^N \Big(f(\eta_n) -f(\xi_n)\Big)\ (x_{n+1}-x_n)\\
&\leq \delta (D)\ \sum_{n=0}^N \Big(f(\eta_n) -f(\xi_n)\Big) &\text{(per la definizione di } \delta(D)\text{)}\\
&\leq \delta (D)\ \sum_{n=0}^N L\ |\eta_n -\xi_n| &\text{(per la condizione di Lipschitz)}\\
&\leq \delta (D)\ L\ \sum_{n=0}^N x_{n+1} -x_n &\text{(perché } |\eta_n-\xi_n|\leq x_{n+1} -x_n \text{)}\\
&= (b-a)\ L\ \delta (D)
\end{split}
\]
e da ciò segue che \(S(f;D)-s(f;D)\) tende a zero quando \(\delta (D)\to 0^+\); pertanto la funzione lipschitziana \(f\) è integrabile in \([a,b]\).
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