Integrabilità (alla riemann) funzione caratteristica

[y7xj0m]

Lo so... a queste ore indecenti bisognerebbe dormire... ma:
un dubbio mi tormenta: esiste un integrale indefinito per la funzione caratteristica su [0, +oo[ ?

una primitiva sono riuscita a trovarla, prendendo una F(x) che vale x se x è positivo, 0 altrimenti. Tuttavia la detta funzione caratteristica è discontinua in 0 perciò non è automaticamente vero (secondo quello che ho studiato) che primitive e integrali indefiniti coincidono...
Dunque credo che possa esistere una primitiva ma non un integrale indefinito... o sbaglio??

[gugo82]

Non capisco cosa tu intenda per integrale indefinito...

Ad ogni modo, un fatto "abbastanza fine" del Calcolo Differenziale è il seguente teorema di Darboux:

Siano \(I\) un intervallo e \(f:I\to \mathbb{R}\) derivabile nell'interno di \(I\).
La \(f^\prime\) gode della proprietà dei valori intermedi in $I$ (i.e., comunque si scelgano \(a
che in soldoni ti dà una condizione necessaria affinché una fissata funzione \(u\) sia una derivata, cioè \(u\) deve necessariamente godere della proprietà dei valori intermedi.

Nel tuo caso, la funzione \(u=\chi_{[0,\infty[}\) non gode della proprietà dei valori intermedi in \(I=\mathbb{R}\) (perché \(1/2\) non viene assunto come valore da \(u\)), dunque non può essere la derivata di alcuna funzione derivabile in tutto \(\mathbb{R}\).

[y7xj0m]

a meno che non definisco una funzione a tratti però! ... è quella la cosa che non mi convince! :-\

[gugo82]

" y7xj0m":a meno che non definisco una funzione a tratti però! ... è quella la cosa che non mi convince! :-\

E che vuol dire?