Integrabilità
Ho l'esonero di analisi tra pochi giorni, ma quando faccio gli esercizi di analisi non riesco quasi mai a rendermi conto se sono abbastanza rigoroso o no.
Per esempio c'era un esercizio del tipo:
$f(x)$ è una funzione che vale $1$ quando $x=1/n$ con $n$ naturale, mentre in tutti gli altri casi vale $0$.
$f(x)$ è integrabile secondo Riemann nell'intervallo $[0,1]$? E se sì, quanto vale l'integrale?
(In genere si tratta SEMPRE di esercizi dove intuitivamente verrebbe da dire "grazie al cavolo!"
)
Siccome siamo agli inizi posso usare solo la definizione di integrale unita a qualche teoremino tipo "Se una funzione ha un numero finito di discontinuità è integrabile" oppure "Il valore che la funzione assume in un singolo punto non influisce sul valore dell'integrale".
Quindi avevo pensato di considerare l'intervallo $[1/{2^M}, 1]$
Per $M=1$ nell'intervallo $[1/2, 1]$ ci sono solo due discontinuità e la funzione è chiaramente ingrabile con valore $0$.
Ora avevo pensato di usare l'induzione.
Se è integrabile in $[1/{2^M}, 1]$ con valore $0$, allora nell'intervallo $[1/{2^{M+1}}, 1]$ le discontinuità sono il doppio dell'intervallo precedente e si può suddividere in due parti $[1/{2^M}, 1]$ dove sappiamo che è integrabile e vale $0$ per ipotesi induttiva e $[1/{2^{M+1}}, 1/{2^M}]$ in quest'ultimo intervallo le discontinuità sono le stesse dell'altro quindi per gli stessi motivi è integrabile con integrale $0$. Quindi sommando i due pezzi dovrebbe risultare che è integrabile in $[1/{2^{M+1}}, 1]$ con valore $0$.
Con l'induzione dovrei riuscire a coprire tutto l'intervallo $(0, 1]$ e rimane escluso solo lo $0$. Infatti qualunque intervallo del tipo $[\epsilon, 1]$ con $\epsilon >0$ qualsiasi, lo riesco a coprire per $M$ sufficienti grandi..
Ora il dubbio... posso dire tranquillamente che rimanendo fuori solo lo $0$ il suo valore è ininfluente ai fini dell'integrabilità e ai fini dell'integrale e che quindi la funzione è integrabile in tutto $[0,1]$ con integrale $0$?
Per esempio c'era un esercizio del tipo:
$f(x)$ è una funzione che vale $1$ quando $x=1/n$ con $n$ naturale, mentre in tutti gli altri casi vale $0$.
$f(x)$ è integrabile secondo Riemann nell'intervallo $[0,1]$? E se sì, quanto vale l'integrale?
(In genere si tratta SEMPRE di esercizi dove intuitivamente verrebbe da dire "grazie al cavolo!"
)Siccome siamo agli inizi posso usare solo la definizione di integrale unita a qualche teoremino tipo "Se una funzione ha un numero finito di discontinuità è integrabile" oppure "Il valore che la funzione assume in un singolo punto non influisce sul valore dell'integrale".
Quindi avevo pensato di considerare l'intervallo $[1/{2^M}, 1]$
Per $M=1$ nell'intervallo $[1/2, 1]$ ci sono solo due discontinuità e la funzione è chiaramente ingrabile con valore $0$.
Ora avevo pensato di usare l'induzione.
Se è integrabile in $[1/{2^M}, 1]$ con valore $0$, allora nell'intervallo $[1/{2^{M+1}}, 1]$ le discontinuità sono il doppio dell'intervallo precedente e si può suddividere in due parti $[1/{2^M}, 1]$ dove sappiamo che è integrabile e vale $0$ per ipotesi induttiva e $[1/{2^{M+1}}, 1/{2^M}]$ in quest'ultimo intervallo le discontinuità sono le stesse dell'altro quindi per gli stessi motivi è integrabile con integrale $0$. Quindi sommando i due pezzi dovrebbe risultare che è integrabile in $[1/{2^{M+1}}, 1]$ con valore $0$.
Con l'induzione dovrei riuscire a coprire tutto l'intervallo $(0, 1]$ e rimane escluso solo lo $0$. Infatti qualunque intervallo del tipo $[\epsilon, 1]$ con $\epsilon >0$ qualsiasi, lo riesco a coprire per $M$ sufficienti grandi..
Ora il dubbio... posso dire tranquillamente che rimanendo fuori solo lo $0$ il suo valore è ininfluente ai fini dell'integrabilità e ai fini dell'integrale e che quindi la funzione è integrabile in tutto $[0,1]$ con integrale $0$?
Risposte
Beh, non è che ci sia molto da dire... Già formando le sole somme di Riemann superiori ti accorgi che la funzione assegnata ha integrale nullo.
Infatti, scelta ad arbitrio una decomposizione \(D=\{0=x_0
S(f;D) := \sum_{k=0}^N (x_{k+1} - x_k)\ \sup_{x\in [x_k,x_{k+1}]} f(x) \leq \operatorname{amp} (D)\; ,
\]
in cui:
\[
\operatorname{amp} (D) := \max \{ x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots ,x_{N+1} -x_N\}
\]
è l'ampiezza di \(D\); ciò implica che l'integrale superiore di \(f\) è nonpositivo, poiché:
\[
\overline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x := \inf_{D\in \mathfrak{D} (0,1)} S(f;D) \leq \inf_{D \in \mathfrak{D}(0,1)} \operatorname{amp} (D) =0
\]
e da ciò, usando l'ovvia disuguaglianza che lega l'integrale inferiore e quello superiore:
\[
\underline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x \leq \overline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x
\]
e l'ovvio fatto che l'integrale inferiore di una funzione positiva è un numero nonnegativo, cioé che:
\[
0\leq \underline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x \; ,
\]
si trae:
\[
\underline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x = \overline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x =0\; .
\]
Pertanto, per definizione, \(f\) è integrabile ed ha integrale nullo.
Infatti, scelta ad arbitrio una decomposizione \(D=\{0=x_0
S(f;D) := \sum_{k=0}^N (x_{k+1} - x_k)\ \sup_{x\in [x_k,x_{k+1}]} f(x) \leq \operatorname{amp} (D)\; ,
\]
in cui:
\[
\operatorname{amp} (D) := \max \{ x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots ,x_{N+1} -x_N\}
\]
è l'ampiezza di \(D\); ciò implica che l'integrale superiore di \(f\) è nonpositivo, poiché:
\[
\overline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x := \inf_{D\in \mathfrak{D} (0,1)} S(f;D) \leq \inf_{D \in \mathfrak{D}(0,1)} \operatorname{amp} (D) =0
\]
e da ciò, usando l'ovvia disuguaglianza che lega l'integrale inferiore e quello superiore:
\[
\underline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x \leq \overline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x
\]
e l'ovvio fatto che l'integrale inferiore di una funzione positiva è un numero nonnegativo, cioé che:
\[
0\leq \underline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x \; ,
\]
si trae:
\[
\underline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x = \overline{\int_0^1} f(x)\ \text{d} x =0\; .
\]
Pertanto, per definizione, \(f\) è integrabile ed ha integrale nullo.
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