$\int ( (x+ \root(4)(x^2+10))/(\root(3)(x+10)$
Salve ragazzi, sto impazzendo per calcolare l'insieme delle primitive di $\int ( (x+ \root(4)(x^2+10)))/(\root(3)(x+10)$.
Indubbiamente, se la funzione sotto il segno di integrale è elementarmente integrabile, una delle tecniche per risolvere quel tipo di integrale è procedendo per sostituzione.
Potrei sostituire con $t-x = \root(3)(x+10)$ e fare un po di conti e poi fare un'altra sostituzione tentando di eliminare quella radice quarta, ma mi sembra alquanto calcoloso il tutto! Soprattutto perché arriverei a calcolarmi un'espressione del tipo $(a+b)^4$...
Suggerimenti ragazzi? Grazie mille.
Indubbiamente, se la funzione sotto il segno di integrale è elementarmente integrabile, una delle tecniche per risolvere quel tipo di integrale è procedendo per sostituzione.
Potrei sostituire con $t-x = \root(3)(x+10)$ e fare un po di conti e poi fare un'altra sostituzione tentando di eliminare quella radice quarta, ma mi sembra alquanto calcoloso il tutto! Soprattutto perché arriverei a calcolarmi un'espressione del tipo $(a+b)^4$...
Suggerimenti ragazzi? Grazie mille.
Risposte
secondo me il testo è questo
\begin{align}
\int \frac{x+\sqrt[4]{x+10}}{\sqrt[3]{x+10}}
\end{align}
e non quello che hai scritto tu ... se vuoi cercare l'insieme delle primitive...
\begin{align}
\int \frac{x+\sqrt[4]{x+10}}{\sqrt[3]{x+10}}
\end{align}
e non quello che hai scritto tu ... se vuoi cercare l'insieme delle primitive...
Se l'integrale è quello scritto da Noisemaker, una sostituzione possibile è \(t=\sqrt[n]{x+10}\) ove \(n=\operatorname{mcm}(4,3)\). 
Per l'altro, un integrazione elementare non la vedo possibile.
Per l'altro, un integrazione elementare non la vedo possibile.
GRazie mille a Gugo e a Noisemaker. In effetti, l'esercizio recitava appunto come ho scritto io all'inizio :\
sarà stata una svista della prof. Grazie mille ragazzi
sarà stata una svista della prof. Grazie mille ragazzi
@Gugo, Noisemaker, e chi più ne ha più ne metta...
Mi chiedo: ma come fa uno a rendersi conto che si trova danti ad una roba che non ammette una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari? Ok, le "schifezze" più celebri le conosciamo: $"sinc"(x)$, $e^{-x^2}$...ma in generale come mi rendo conto di trovarmi in un vicolo cieco?!
Guardando la funzione di Kash, non l'avrei mai detto, soprattutto sapendo che si trattava di un esercizio proposto dal Prof...
Mi chiedo: ma come fa uno a rendersi conto che si trova danti ad una roba che non ammette una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari? Ok, le "schifezze" più celebri le conosciamo: $"sinc"(x)$, $e^{-x^2}$...ma in generale come mi rendo conto di trovarmi in un vicolo cieco?!
Guardando la funzione di Kash, non l'avrei mai detto, soprattutto sapendo che si trattava di un esercizio proposto dal Prof...
"Plepp":
@Gugo, Noisemaker, e chi più ne ha più ne metta...
Mi chiedo: ma come fa uno a rendersi conto che si trova danti ad una roba che non ammette una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari? Ok, le "schifezze" più celebri le conosciamo: $"sinc"(x)$, $e^{-x^2}$...ma in generale come mi rendo conto di trovarmi in un vicolo cieco?!
mi accodo alla questione.
PS : Più sto e più mi rendo conto che le funzioni integrabili elementarmente sono davvero poche..
Dopo un po' uno ci fa l'occhio... Ma comunque il trucco c'è: se il sig. Wolf(ram) non trova la soluzione in termini elementari, molto probabilmente la soluzione non esiste. 
non esiste dunque un criterio che permetta di stabilire se una funzione è elementarmente integrabile? O forse esiste, ma gli strumenti di Analisi I/II sono insufficienti per affrontarlo?
Del tipo, sappiamo che $\int e^(-x^2)$ non è integrabile in maniera elementare, come si arriva, ad esempio, a questo risultato?
Grazie gugo per la tua disponibilità, sempre, di cuore.
Del tipo, sappiamo che $\int e^(-x^2)$ non è integrabile in maniera elementare, come si arriva, ad esempio, a questo risultato?
Grazie gugo per la tua disponibilità, sempre, di cuore.
Il risultato c'è e si chiama Teorema di Liouville.
Sorprendentemente è un risultato di Algebra, più che di Analisi; per comprenderlo c'è bisogno di conoscenze un po' avanzate e per questo non lo si può insegnare ai primi anni.
Ne ho parlato tempo fa nel forum; prova a cercare.
Altrimenti puoi provare a leggere questo.
Sorprendentemente è un risultato di Algebra, più che di Analisi; per comprenderlo c'è bisogno di conoscenze un po' avanzate e per questo non lo si può insegnare ai primi anni.
Ne ho parlato tempo fa nel forum; prova a cercare.
Altrimenti puoi provare a leggere questo.
Sicuramente è ancora presto per affrontare la questione, vi ringrazio di cuore.
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