$\int (lnx sinx)dx$

[Kashaman]

Probabilmente come domanda risulterà banale ma è già da mezz'ora che ci mastico sopra.

Vorrei determinare una primitiva di $\int(lnxsinx)dx$ , gli strumenti di cui dispongo al momento sono
1) immediati
2) Integrazione per parti.

Iniziamo con il dire che ha senso calcolare tale primitiva in un intervallo di tipo $]0,+\infty[:=I$.
Il primo metodo non funziona, il secondo in linea teorica dovrebbe andare. Notiamo che sono entrambe funzioni $C^1(I)$, quindi comunque scelgo tra $f(x)=lnx$ e $g(x)=lnx$ come fattore differenziale, vale il teorema di integrazione per parti.
Utilizzando
$lnx$ come fattore differenziale ho che
$\int(lnxsinx)dx = x(lnx-1)sinx - \int x(lnx-1)cosx$ la situazione è addirittura peggiorata.
Se prendo $sinx$ come fattore differenziale ho che
$\int(lnxsinx)dx= -cosxlnx + \int cosx1/x$ , anche qui, mi impantanerei.
Potrei pensare $logxsinx$ come $1*logxsinx$ e quindi prendere come fattore differenziale $1$ e avrei
$\int(lnxsinx)dx = xlnxsinx-\intx ( 1/xsinx+lnxcosx)=xlnxsinx+cosx-\int x lnx cosx$ , ancora peggio!

Domanda : è possibile risolvere con le tecniche sopra citate questo integrale? o perdo tempo? C'è qualcosa che mi sfugge? grazie mille.

[Noisemaker]

quell'integrale non ammette primitiva esprimibile elementarmente

[Kashaman]

interessante... grazie Noise