Int curvilineo Forma differenziale,coordinate polari
ciao a tutti !
devo risolvere il seguente esercizio:
Dire se $w$ è esatta e calcolare una primitiva e l'integrale sulla curva $\gamma$ definita in coordinate polari:
$\rho=2-cos(\vartheta)$ con $-pi <= vartheta <= pi$
Prima di tutto devo vedere se esatta.
Ho appurato che essa è chiusa. se $w=Mdx+Ndy$ , $M, N$ e quindi $w$ sono di classe C infinito sul dominio che è:
$D=R^2/(0,0)$ quindi non connesso.
quindi non posso dire che sia esatta.
Allora ho pensato di calcolare l'integrale e vedere se viene 0. ma non so trasformare le coordinate della curva in parametriche.
Come fare?
Grazie
devo risolvere il seguente esercizio:
Dire se $w$ è esatta e calcolare una primitiva e l'integrale sulla curva $\gamma$ definita in coordinate polari:
$\rho=2-cos(\vartheta)$ con $-pi <= vartheta <= pi$
Prima di tutto devo vedere se esatta.
Ho appurato che essa è chiusa. se $w=Mdx+Ndy$ , $M, N$ e quindi $w$ sono di classe C infinito sul dominio che è:
$D=R^2/(0,0)$ quindi non connesso.
quindi non posso dire che sia esatta.
Allora ho pensato di calcolare l'integrale e vedere se viene 0. ma non so trasformare le coordinate della curva in parametriche.
Come fare?
Grazie
Risposte
Sì ma $w$ quale è? Ma perché non leggete il regolamento e non imparate a scrivere la traccia esattamente come la trovate?
$w=x/(x^2+y^2)dx+y/(x^2+y^2)dy$
La forma è sicura chiusa sul suo dominio. E' vero che non è esatta "globalmente", ma se prendi un qualsiasi dominio semplicemente connesso che non contenga l'origine la forma, su tale dominio, risulta esatta. Il problema è che la tua curva è un percorso, chiuso, attorno all'origine (la curva è una specie di "uovo" simmetrico rispetto all'asse $x$ e con la "punta" nel punto $(-3,0)$ e la "base" nel punto $(1,0)$, prova a verificarlo).
Sai come devi comportarti in un caso simile? Perché puoi osservare che su un dominio come dicevo prima la forma sarebbe esatta con primitiva $f(x,y)=\frac{1}{2} \log(x^2+y^2)+c$.
Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale, osserva che passando in coordinate polari ottieni $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ e pertanto
$$dx=\cos\theta\ d\rho-\rho\sin\theta\ d\theta,\qquad dy=\sin\theta\ d\rho+\rho\cos\theta\ d\theta$$
da cui la forma, dopo un po' di calcoli,
$$w=\frac{\rho\cos\theta}{\rho^2}\left(\cos\theta\ d\rho-\rho\sin\theta\ d\theta\right)+\frac{\rho\sin\theta}{\rho^2}\left(\sin\theta\ d\rho+\rho\cos\theta\ d\theta\right)=\frac{1}{\rho}\ d\rho$$
Passando all'integrale e tenendo conto che $\rho=2-\cos\theta$ si ha, essendo $d\rho=\sin\theta\ d\theta$
$$\int_\gamma w=\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}\ d\rho=\left[\log(2-\cos\theta)\right]_{-\pi}^\pi=0$$
Sai come devi comportarti in un caso simile? Perché puoi osservare che su un dominio come dicevo prima la forma sarebbe esatta con primitiva $f(x,y)=\frac{1}{2} \log(x^2+y^2)+c$.
Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale, osserva che passando in coordinate polari ottieni $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ e pertanto
$$dx=\cos\theta\ d\rho-\rho\sin\theta\ d\theta,\qquad dy=\sin\theta\ d\rho+\rho\cos\theta\ d\theta$$
da cui la forma, dopo un po' di calcoli,
$$w=\frac{\rho\cos\theta}{\rho^2}\left(\cos\theta\ d\rho-\rho\sin\theta\ d\theta\right)+\frac{\rho\sin\theta}{\rho^2}\left(\sin\theta\ d\rho+\rho\cos\theta\ d\theta\right)=\frac{1}{\rho}\ d\rho$$
Passando all'integrale e tenendo conto che $\rho=2-\cos\theta$ si ha, essendo $d\rho=\sin\theta\ d\theta$
$$\int_\gamma w=\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}\ d\rho=\left[\log(2-\cos\theta)\right]_{-\pi}^\pi=0$$
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