$\int_a^b p(x)|u(x)|^2 dx=0 => u \equiv 0$?
Sia [tex]\Omega=(a,b) \subset \mathbb{R}[/tex] e [tex]p \colon \Omega \to \mathbb{R}[/tex] una funzione positiva su tutto [tex]\Omega[/tex], Riemann-integrabile (ma se vi viene comodo, possiamo anche dire [tex]p(x) \in L(\Omega)[/tex]).
Sia [tex]u \colon \Omega \to \mathbb{R}[/tex] un'altra funzione (regolare quanto volete, facciamo $C^2(a,b)$).
E' vero che se [tex]\int_a^b p(x)|u(x)|^2 \text{d}x=0[/tex] allora necessariamente [tex]u(x) \equiv 0[/tex] su [tex]\Omega[/tex]?
Non ho la risposta; ho però il sospetto che se aggiungiamo alcune ipotesi su [tex]p[/tex] (continuità?) la tesi diventa easy, ma se qualcuno mi aiuta nel caso generale mi fa un favore.
Sia [tex]u \colon \Omega \to \mathbb{R}[/tex] un'altra funzione (regolare quanto volete, facciamo $C^2(a,b)$).
E' vero che se [tex]\int_a^b p(x)|u(x)|^2 \text{d}x=0[/tex] allora necessariamente [tex]u(x) \equiv 0[/tex] su [tex]\Omega[/tex]?
Non ho la risposta; ho però il sospetto che se aggiungiamo alcune ipotesi su [tex]p[/tex] (continuità?) la tesi diventa easy, ma se qualcuno mi aiuta nel caso generale mi fa un favore.
Risposte
Se supponi che $u$ non sia identicamente nulla, allora esiste $c>0$ e $B_r(x_0)\subset\Omega$ tale che $|u(x)|\ge c$ per ogni $x\in B_r(x_0)$.
Di conseguenza \(\int_{\Omega} p |u|^2 \geq c^2 \int_{B_r(x_0)} p > 0\).
Di conseguenza \(\int_{\Omega} p |u|^2 \geq c^2 \int_{B_r(x_0)} p > 0\).
Una cosa interessante è che vale (una sorta di) viceversa!
Il Teorema di Radon-Nikodym:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Radon-Nikodym
Il Teorema di Radon-Nikodym:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Radon-Nikodym
Io quoto Rigel sull'uso del teorema della permanenza del segno!
"Paolo90":
Sia [tex]\Omega=(a,b) \subset \mathbb{R}[/tex] e [tex]p \colon \Omega \to \mathbb{R}[/tex] una funzione positiva su tutto [tex]\Omega[/tex], Riemann-integrabile (ma se vi viene comodo, possiamo anche dire [tex]p(x) \in L(\Omega)[/tex]).
Sia [tex]u \colon \Omega \to \mathbb{R}[/tex] un'altra funzione (regolare quanto volete, facciamo $C^2(a,b)$).
E' vero che se [tex]\int_a^b p(x)|u(x)|^2 \text{d}x=0[/tex] allora necessariamente [tex]u(x) \equiv 0[/tex] su [tex]\Omega[/tex]?
Ciao .
Esiste il risultato generale seguente :
Se $ f $ è una funzione positiva e Riemann integrabile su un intervallo $[ a ; b ] $ allora
$ \int_a^b f(x) dx = 0 $ $hArr$ $ { x in [a;b] $ / $ f(x) = 0 } $ è denso nell'intervallo $ [a;b] $
Dunque , se $ p(x) > 0 $ sull'intervallo $[a;b]$ allora
$\int_a^b p(x)|u(x)|^2 dx =0 $ $ hArr $ ${ x in [a;b] $ / $ u(x) = 0 } $ è denso nell'intervallo $ [a;b] $ .
Non so se questo risponde alla domanda .
Vi ringrazio per le vostre risposte e per i vostri commenti, tutti molto utili. Effettivamente è molto più semplice di quanto pensassi...
A titolo di cronaca, la questione nasce da un risultato simile (ma poco chiaro) che ho trovato su un libro: tuttavia, l'autore faceva un giro pazzesco e sentivo puzza di bruciato.
Grazie.
A titolo di cronaca, la questione nasce da un risultato simile (ma poco chiaro) che ho trovato su un libro: tuttavia, l'autore faceva un giro pazzesco e sentivo puzza di bruciato.
Grazie.
"DMNQ":
Esiste il risultato generale seguente :
Se $ f $ è una funzione positiva e Riemann integrabile su un intervallo $[ a ; b ] $ allora
$ \int_a^b f(x) dx = 0 $ $hArr$ $ { x in [a;b] $ / $ f(x) = 0 } $ è denso nell'intervallo $ [a;b] $
Sei sicuro di questo, DMNQ? Mi pare un po' strano, perché ad esempio la funzione
\[f(x)=\begin{cases} 0 & x \in \mathbb{Q} \\ 1 & x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{cases}\]
ha \(\int_0^1f(x)\, dx=1\) ma si annulla su un insieme denso in \([0, 1]\). Certo, essa non è integrabile secondo Riemann. Curioso! Magari lasciaci un riferimento, così, se hai tempo. Grazie.
"dissonance":
Se $ f $ è una funzione positiva e Riemann integrabile su un intervallo $[ a ; b ] $ allora
$ \int_a^b f(x) dx = 0 $ $hArr$ $ { x in [a;b] | f(x) = 0 } $ è denso nell'intervallo $ [a;b] $
Sei sicuro di questo, DMNQ?
Sono assolutamente sicuro . Per dimostrare questo si puo vedere dapprima il teorema 1 seguente :
teorema 1 : Se $ f $ è una funzione Riemann integrabile su un intervallo $[ a ; b ] $ con $ a< b $
e se $ f(x) > 0 $ sull'intervallo $[a;b]$ allora $ \int_a^b f(x) dx > 0 $ .
dimostrazione di 1 :
Gia , so che $ \int_a^b f(x) dx >= 0 $ . Supponiamo $ \int_a^b f(x) dx = 0 $ .
Prendo $\epsilon > 0 $ . Esiste una funzione " in scale " $ \phi : [a;b] -> RR $ che verifica
$ f <= \phi $ e $ \int_a^b \phi(x) dx <= \epsilon ( b- a) $ (*).
Con $ \sigma =(a=x_0,...,x_i,...,x_r=b) $ una suddivisione adattata alla $\phi $
la condizione (*) mostra che esiste i per il quale abbiamo $ \phi(x) <= \epsilon $ su $ [x_(i-1);x_i] $
e quindi abbiamo $ f(x) <= \epsilon $ su $ [x_(i-1);x_i] $ .
Cosi , ho trovato un'intervallo $ [ a';b'] $ con $ a'< b' $ sul quale $ f(x) <= \epsilon $ .
-> Con $ \epsilon = 1 $ , trovo un'intervallo $ [a_1;b_1] sub [a;b] $ sul quale $ f(x) <= 1 $ .
-> Con $ \epsilon = \frac{1}{2} $ , trovo un'intervallo $ [a_2;b_2] sub [a_1;b_1] $ sul quale $ f(x) <= \frac{1}{2} $ .
.....
-> Con $ \epsilon = \frac{1}{n}$ , trovo un'intervallo $ [a_n;b_n] sub[a_(n-1);b_(n-1)] $ sul quale $ f(x) <= \frac{1}{n} $ .
.......
Nel compatto $ [a;b] $, abbiamo la successione decrescente dei $ [ a_n ; b_n ] $ ( non vuoti ) e dunque $ nn [a_n;b_n] $ non è vuoto .
Se $ x in nn [a_n;b_n] $ allora $ f(x) <= \frac{1}{n} $ qualsiasi $n >= 1$ , dunque $ f(x)<=0 $ che contradice $ f(x) > 0$ .
$ \int_a^b f(x) dx = 0 $ è assurdo e forzamente , $ \int_a^b f(x) dx > 0 $
teorema 2 :
Se $ f $ è una funzione positiva e Riemann integrabile su un intervallo $[ a ; b ] $ allora
$ \int_a^b f(x) dx = 0 $ $hArr$ $ { x in [a;b] $ / $ f(x) = 0 } $ è denso nell'intervallo $ [a;b] $
dimostrazione del 2:
> Se $ { x in [a;b] | f(x) = 0 } $ non sia denso nell'intervallo $ [a;b] $ allora
esiste un'intervallo $ [\alpha ; \beta ] sub [a , b ] $ con $ \alpha < \beta $ sul quale $ f(x) > 0 $
Il teorema 1 indica che $ \int_\alpha^\beta f(x) dx > 0 $ e quindi $ \int_a^b f(x) dx > 0 $
> Se $ { x in [a;b] | f(x) = 0 } $ sia denso nell'intervallo $ [a;b] $ allora
prendo una funzione " in scale " $ \phi $ con $ \phi <= f $ e $ \sigma =(a=x_0,...,x_i,...,x_r=b) $
una suddivisione adattata alla $\phi $ . Forzamente , ogni $ ]x_(i-1);x_i[ $ contiene un zero della $ f $
e adesso , ho $ \phi (x) = 0 $ per $ x in ]x_(i-1);x_i[ $ . Ne deduco $ \int_a^b \phi(x) dx = 0 $
e finalmente $ \int_a^b f(x) dx = Sup{ \int_a^b \phi(x) dx } = 0 $ .
Era un poco lungo !
Dominique .
In effetti l'enunciato di DMNQ è interessante (anch'io in un primo momento ero rimasto dubbioso).
Peraltro, se si dà per buona la caratterizzazione:
$f:[a,b]\to RR$ limitata allora: $f$ è Riemann integrabile SSE $f$ è continua quasi ovunque
allora la dimostrazione si può abbreviare. Infatti se ci fosse un intervallo $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$ in cui $f>0$ allora
si troverebbe $\gamma\in[\alpha,\beta]$ tale che $f$ è continua in $\gamma$ e $f(\gamma)>0$. Allora $f>0$ in un intorno
$I$ di $\gamma$ da cui è facile dedurre che $\int_a^b f(x) dx \ge \int_I f(x) dx>0$.
P.S. Approfitto del messaggio per fare gli auguri (in ritardo) ai frequentatori del forum, che frequento ormai di rado
.
Peraltro, se si dà per buona la caratterizzazione:
$f:[a,b]\to RR$ limitata allora: $f$ è Riemann integrabile SSE $f$ è continua quasi ovunque
allora la dimostrazione si può abbreviare. Infatti se ci fosse un intervallo $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$ in cui $f>0$ allora
si troverebbe $\gamma\in[\alpha,\beta]$ tale che $f$ è continua in $\gamma$ e $f(\gamma)>0$. Allora $f>0$ in un intorno
$I$ di $\gamma$ da cui è facile dedurre che $\int_a^b f(x) dx \ge \int_I f(x) dx>0$.
P.S. Approfitto del messaggio per fare gli auguri (in ritardo) ai frequentatori del forum, che frequento ormai di rado
.
"ViciousGoblin":
Infatti se ci fosse un intervallo $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$ in cui $f>0$ allora
si troverebbe $\gamma\in[\alpha,\beta]$ tale che $f$ è continua in $\gamma$ e $f(\gamma)>0$. Allora $f>0$ in un intorno
$I$ di $\gamma$ da cui è facile dedurre che $\int_a^b f(x) dx \ge \int_I f(x) dx>0$.
E vero , la dimostrazione è piu rapida cosi .
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