$\int_A f(x,y)dxdy$..coordinate polari non funzionano..dove sbaglio?

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi sono trovato di fronte a questo esercizio, convinto di averlo fatto giusto, faccio i miei conti ma poi mi blocco, poi vado a vedere la soluzione.. Ed ecco è tutto sbagliato!
Vorrei capire il procedimento che ha fatto la soluzione, ove usa delle coordinate polari che non so..non capisco.

Calcolare $ \int_A \sqrt(x^2+y^2)dxdy $
ove $ A=\{((x),(y))\in RR^2| (x-1)^2+y^2\leq 1\} $

allora ho provato a risolvere così

siccome è una circonferenza traslata..uso le coordinate polari traslate $ { ( x=1+\rho \cos\theta ),( y=\rho \sin \theta ):} $

così ottengo che $ \rho\in [0,1], \theta \in [0,2\pi] , det J=\rho$
così ho
$ \int_(0)^(2\pi)d\theta(\int_(0)^(1)(\sqrt(1+\rho^2+2\rho \cos\theta))\rhod\rho)$

però da qui in poi mi blocco.. non so come andare avanti

Poi guardo la soluzione, che fa e vorrei capire il suo procedimento

utilizzando le coordinate polari.. si ottiene $\rho \in [0,2\cos\theta]$ e $\theta \in [-\pi/2,\pi/2]$

quindi $ int_(-\pi/2)^(\pi/2)d\theta int_(0)^(2\cos\theta)\rho \cdot \rho d\rho=\int_(-\pi/2)^(\pi/2)d\theta\int_(0)^(2\cos\theta)\rho^2 \d\rho $

e poi va bé fa i calcoli..

Ma io vorrei capire.. come mai $\theta \in[-\pi/2,\pi/2]$

scusate sono un po' confuso.. vorrei capire..

[gugo82]

Il fatto è che, nonostante il dominio di integrazione sia un cerchio con centro in \((1,0)\), conviene usare le coordinate polari "standard":
\[
\begin{cases}
x=\rho\ \cos \theta\\
y=\rho\ \sin \theta
\end{cases}
\]
cioé quelle col polo nell'origine... Prova un po'.

[21zuclo]

@gugo82 e @TeM

ok sull'uso delle coordinate polari normali e non traslate.. e fin qui ci sono..e infatti ho provato a sostituire quelle normali e mi esce il $\rho$

ma quello che non mi è ancora chiaro è l'angolo.. la soluzione scrive $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$

..io avrei scelto $\theta \in [0,2\pi]$

[21zuclo]

"TeM":Bada bene, perché si abbia \(0 \le \rho \le 2\cos\theta\) deve necessariamente verificarsi \(0 \le 2\cos\theta\), da cui...

da cui $\theta \in [-\pi/2,\pi/2] $

madò che sbadato che sono..

comunque grazie..la prox volta comunque starò più attento..

[gugo82]

A prescindere dalla motivazione analitica citata da TeM, c'è un motivo puramente geometrico del perché debba risultare \(-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2\).

Infatti, ricordando che \(\theta\) è l'anomalia principale della semiretta uscente dall'origine e passante per il punto \((x,y)\)[nota]Cioé, \(\theta\) è la misura in radianti, presa nell'intervallo \(]-\pi,\pi]\), dell'angolo formato dalla semiretta di origine \((0,0)\) passante per \((x,y)\) con il semiasse positivo delle ascisse.[/nota] e notato che i punti dell'insieme \(A\) stanno tutti nel primo e nel quarto quadrante, i quali sono spazzati da semirette con anomalie appartenenti a \([-\pi/2,\pi/2]\), l'intervallo \([\theta_1,\theta_2]\) di variazione di \(\theta\) deve essere necessariamente contenuto in \([-\pi/2,\pi/2]\), i.e.:
\[
[\theta_1,\theta_2] \subseteq \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right]\; .
\]
D'altro canto, se l'intervallo \([\theta_1,\theta_2]\) fosse strettamente contenuto in \([-\pi/2,\pi/2]\), cioé se si avesse:
\[
[\theta_1,\theta_2] \subset \left] - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right[
\]
allora i punti di \(A\) dovrebbero appartenere tutti all'angolo compreso tra le semirette uscenti da \((0,0)\) ed aventi anomalie principali \(\theta_1>-\pi/2\) e \(\theta_2<\pi/2\); ma ciò è assurdo, perché facendo un disegno ci si può facilmente convincere del fatto che, comunque si vogliano prendere le anomalie \(-\pi/2<\theta_1<\theta_2<\pi/2\), esistono punti di \(A\) che sono fuori dall'angolo delimitato dalle semirette aventi anomalie \(\theta_1\) e \(\theta_2\).
Pertanto deve essere necessariamente \([\theta_1,\theta_2] = [-\pi/2,\pi/2]\).