$\int_A f(x,y)dxdy$ dubbio su cambio di coordinate..
Ciao a tutti, mi sono trovato di fronte questo esercizio, ma non sto capendo dove sto sbagliando. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Calcolare $ \int_A (\sin (2x+y))/(2x+y)dxdy $
ove $ A=\{(x,y)^T\in RR^2| 0
ho provato a risolvere così
cambio le coordinate in questo modo $ { ( a=2x+y ),( b=y ):} $
calcolo lo Jacobiano $ [det( ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) ) ]^(-1)=[2]^(-1)=1/2 $
ok poi $ { ( a=2x+y ),( b=y ):}\to { ( x=(a-b)/(2) ),( b=y ):} $
vado a sostituirli nell'insieme e ottengo $ 0
mentre l'altro non riesco.. ottengo
$ 0<(a-b)/(2)<\pi/2 $ .. uhm non ne sono tanto sicuro..
Mentre la SOLUZIONE.. mi da questo
l'insieme nelle nuove coordinate è $ 0
Ecco una domanda.. come ha ricavato la seconda diseguaglianza?.. non manca il $\pi$ ?
e poi il risultato sulla soluzione non mi convice
la soluzione dice $ 1/2 int_(0)^(\pi) int_(0)^(b) (\sin(a))/(a)db da=.... =1 $
Calcolare $ \int_A (\sin (2x+y))/(2x+y)dxdy $
ove $ A=\{(x,y)^T\in RR^2| 0
ho provato a risolvere così
cambio le coordinate in questo modo $ { ( a=2x+y ),( b=y ):} $
calcolo lo Jacobiano $ [det( ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) ) ]^(-1)=[2]^(-1)=1/2 $
ok poi $ { ( a=2x+y ),( b=y ):}\to { ( x=(a-b)/(2) ),( b=y ):} $
vado a sostituirli nell'insieme e ottengo $ 0
mentre l'altro non riesco.. ottengo
$ 0<(a-b)/(2)<\pi/2 $ .. uhm non ne sono tanto sicuro..
Mentre la SOLUZIONE.. mi da questo
l'insieme nelle nuove coordinate è $ 0
Ecco una domanda.. come ha ricavato la seconda diseguaglianza?.. non manca il $\pi$ ?
e poi il risultato sulla soluzione non mi convice
la soluzione dice $ 1/2 int_(0)^(\pi) int_(0)^(b) (\sin(a))/(a)db da=.... =1 $
Risposte
Ma non era più semplice porre $a=2x+y,\ b=x$????
"ciampax":
Ma non era più semplice porre $a=2x+y,\ b=x$????
eh ma se faccio così viene $ [det ( ( 2 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ]^(-1)=-1 $
quindi si ha $ { ( a=2x+y ),( b=x ):} $
quindi l'insieme era e diventa
$ 0
quindi verrebbe (correggimi se sbaglio)
$ - \int_(0)^(\pi/2)db\int_(0)^(\pi) (\sin a)/(a)da $
esatto?.. dammi una conferma..
poi scusa una cosa.. una domanda..
si può integrale questo? $\int (\sin x)/(x)dx$
wolfram mi da una primitiva strana..
"21zuclo":
si può integrale questo? $\int (\sin x)/(x)dx$
wolfram mi da una primitiva strana..
Questo è il seno integrale, che purtroppo non si può risolvere con metodi analitici elementari (vedi anche qui)
ho fatto anche una ricerca su wikipedia..link
giuro che per ora non ne ho mai sentito parlare..
Comunque apparte l'integrale che non è esprimibile con i metodi elementari..
il calcolo dello jacobiano è esatto?.. perchè il suo calcolo come ho scritto sopra mi viene $-1$
quindi il nuovo integrale sarà
$ -(int int f(a,b)da db ) $
presa una funzione generica.. è per capire.. ditemi se è corretto..
o c'è bisogno del valore assoluto dello jacobiano..?
giuro che per ora non ne ho mai sentito parlare..
Comunque apparte l'integrale che non è esprimibile con i metodi elementari..
il calcolo dello jacobiano è esatto?.. perchè il suo calcolo come ho scritto sopra mi viene $-1$
quindi il nuovo integrale sarà
$ -(int int f(a,b)da db ) $
presa una funzione generica.. è per capire.. ditemi se è corretto..
o c'è bisogno del valore assoluto dello jacobiano..?
attento che lo jacobiano devi prenderlo in modulo quindi l'integrale da calcolare sarebbe
$int_0^(pi/2)dbint_0^pi sina/a da$
però in questo modo non puoi calcolare elementarmente la primitiva, la strada migliore è proseguire con l'altro cambio di variabili che rende l'integrale immediato
$int_0^(pi/2)dbint_0^pi sina/a da$
però in questo modo non puoi calcolare elementarmente la primitiva, la strada migliore è proseguire con l'altro cambio di variabili che rende l'integrale immediato
Hai ragione, ponendo $b=x$ viene una schifezza! 
Ok, allora, con la sostituzione $a=2x+y,\ b=y$ vediamo subito che una condizione risulta $0\le a\le\pi$. Ora, dal momento che $x=\frac{a-b}{2}$ possiamo anche scrivere $0\le a-b\le\pi$ o anche $b\le a\le \pi+b$. Disegna, nel piano $aOb$ le rette $a=0,\ a=\pi,\ b=a,\ b=\pi-a$: dovrebbe risultare lampante come limitare tale dominio.
Ok, allora, con la sostituzione $a=2x+y,\ b=y$ vediamo subito che una condizione risulta $0\le a\le\pi$. Ora, dal momento che $x=\frac{a-b}{2}$ possiamo anche scrivere $0\le a-b\le\pi$ o anche $b\le a\le \pi+b$. Disegna, nel piano $aOb$ le rette $a=0,\ a=\pi,\ b=a,\ b=\pi-a$: dovrebbe risultare lampante come limitare tale dominio.
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