\(|\int_A f(x)d\mu|\leq\int_A|f(x)|d\mu\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Mi sembra di capire, dalla disuguaglianza usata nella prima riga della dimostrazione di questo teorema 6, che per una funzione integrabile secondo Lebesgue $f:A\to\mathbb{R}$ o $f:A\to\mathbb{C}$ valga\[\Big|\int_A f(x)d\mu\Big|\leq\int_A|f(x)|d\mu\]Nel caso reale, sapendo che \(\forall x\in A\quad f(x)\leq g(x)\Rightarrow\int_A f(x)d\mu\leq\int_A g(x)d\mu \) la cosa è ovvia dal fatto che \(-\int_A f(x)d\mu\leq\int_A|f(x)|d\mu\) e \(\int_A f(x)d\mu\leq\int_A|f(x)|\) [editata una boiata spaventosa che avevo scritto].
Il caso complesso non riesco proprio a dimostrarlo a me stesso. Ho provato ad usare il fatto che mi sembra che valga \(\int_A f(x)d\mu=\int_A \text{Re}f(x)d\mu+i\int_A \text{Im}f(x)d\mu\) insieme alle proprietà che conosco dell'integrale di Lebesgue, ma non giungo a nulla...
Qualcuno sarebbe tanto buono da darmi una mano?
$\infty$ grazie!

[Emar1]

Sono andato a spulciare il Folland trovando:



Chiaramente si riferisce ad un integrale rispetto ad una misura reale. Mi limito a riportartelo in quanto tale, adesso provo a capirci qualcosa.

EDIT: OK i passaggi mi sembrano chiari. Anche se non capisco cosa significa la linea sopra la funzione segno. Essendo un numero reale non può significare coniugato. In ogni caso mi pare possa funzionare anche semplicemente con \(\alpha = \text{sgn}\left( \int f \right)\). No?

[DavideGenova1]

Grazie di cuore!
Mmh, non ho ancora trovato tali notazioni, ma credo di avere trovato anche un'altra strada mentre andavo a lavoro sul bus, che spero non essere sbagliata, pensando che per una funzione misurabile semplice $g_k$ l'asserto vale perché, ricordando che \(\int_A g_k(x)d\mu:=\sum_n y_n\mu\{x\in A:g_k(x)=y_n\}\), si ha che \[\Big| \int_A g_k(x)d\mu \Big|=\Big| \sum_n y_n\mu\{x\in A:g_k(x)=y_n\}\Big|\leq\sum_n |y_n|\mu\{x\in A:g_k(x)=y_n\}=\int_A|g_k(x)|d\mu \]Dato poi che credo che se \(g_k\xrightarrow{k\to\infty} f\) uniformemente su $A$ allora \(|g_k|\xrightarrow{k\to\infty} |f|\) uniformemente su $A$ -siccome \(||g_k(x)|-|f(x)||\leq|g_k(x)-f(x)|\)-, dalla definizione di integrale di Lebesgue e dalla disuguaglianza di sopra direi che ottengo la disuguaglianza voluta. Spero di essere ucciso se dico st****ate grosse come quella che ho editato sopra.