$int_2^(+oo) (ln^2(3x))/(9x^2-1)dx$

[Paolo902]

Buongiorno a tutti,

come da titolo, nell'appello di stamattina c'era da studiare la convergenza dell'integrale improprio $int_2^(+oo) (ln^2(3x))/(9x^2-1)dx$.

Ben poche sono state le mie idee, sono solo arrivato a dire che per $x$ sufficientemente grande $log^2(3x)=o(x^2)$.
Però quel dannato converge (per il criterio del confronto asintotico) oppure no?

Intuitivamente penso che converga perchè secondo me il logaritmo non modifica in maniera sostanziale le cose.
Ma come formalizzare il tutto in maniera decorosa?

E soprattutto è corretto ciò che affermo?

Grazie.

[Rigel1]

Poiché $\lim_{x\to +\infty}\frac{\log x}{x^a} = 0$ per ogni $a>0$, ti bastava un confronto con $g(x) = \frac{1}{x^{3/2}}$.
Hai infatti che $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ (dove $f$ è la tua integranda), quindi $0\le f(x) \le g(x)$ definitivamente.

[Paolo902]

"Rigel":Poiché $\lim_{x\to +\infty}\frac{\log x}{x^a} = 0$ per ogni $a>0$, ti bastava un confronto con $g(x) = \frac{1}{x^{3/2}}$.
Hai infatti che $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ (dove $f$ è la tua integranda), quindi $0\le f(x) \le g(x)$ definitivamente.

Eh, già, vero. Caspita, peccato non averci pensato.
Il fatto è che se la frazione $f(x)/g(x)$ è infinitesima all'infinito, allora da un certo punto in poi è più piccola di 1, per cui $f(x)
Grazie mille, ci avevo visto "giusto" in fatto di convergenza, peccato non aver scritto per bene il tutto [size=59](sarà che ero provato da due ore di uno schifosissimo studio di funzione)[/size]

Grazie mille.