$\int_(1/e)^(2e)(x|log(x)|)dx$
ciao!!!
non mi esce questo esercizio...probabilmente sbaglio qualcosa...mah!!
la soluzione ufficiale dovrebbe essere $I=e^2(1+2log(2))-(3/4)e^(-2)+1/2$ ed in effetti a me esce una cosa molto simile ma non del tutto (
)
cmq io ho proceduto in questo modo; ditemi cosa sbaglio...
dunque partendo dall'integrale indefinito:
$\int(x|log(x)|)dx$
integrando per parti considerando f(x)=log(x) e g'(x)=x ottengo:
$log(x)(x^2/2)-\int((1/x)(x^2/2))dx$ =
$log(x)(x^2/2)-\int(x/2)dx$ =
$log(x)(x^2/2) - x^2/4$
detto questo abbiamo:
(*) $\int_(1/e)^(1)(x(-log(x)))dx$ + (*) $\int_(1)^(2e)(x(log(x)))dx$
per cui considerando l'integrale indefinito prima calcolato otteniamo:
$-[(log1(1/2)-log(1/e)((1/e)^2/2))-(1/4-(1/e)^2/4)]$ => $log(e^(-1))e^(-2)/2 + 1/4 - e^(-2)/4$
$(log(2e)(2e)^2/2)-(4e^2/4-1/4)$ => $(log(2e)(2e)^2/2)-(e^2-1/4)$
ma sommando i due risultati ottengo $e^2(log(2e)^2-1)-(3/4)e^(-2)+1/2$ che è leggermente differente dal risultato esatto...
dove sbaglio??
GRAZIE!! ciao...
non mi esce questo esercizio...probabilmente sbaglio qualcosa...mah!!
la soluzione ufficiale dovrebbe essere $I=e^2(1+2log(2))-(3/4)e^(-2)+1/2$ ed in effetti a me esce una cosa molto simile ma non del tutto (
)cmq io ho proceduto in questo modo; ditemi cosa sbaglio...
dunque partendo dall'integrale indefinito:
$\int(x|log(x)|)dx$
integrando per parti considerando f(x)=log(x) e g'(x)=x ottengo:
$log(x)(x^2/2)-\int((1/x)(x^2/2))dx$ =
$log(x)(x^2/2)-\int(x/2)dx$ =
$log(x)(x^2/2) - x^2/4$
Ora: ponendo prima la $f(x)>0$ per vedere dove è positiva e dove negativa (e quindi vedere in quante parti si spezza l'integrale) e successivamente ponendo l'argomento del modulo $>=0$ per togliere quest'ultimo dividendolo nelle varie parti dell'integrale (chiamiamoli con un termine "improprio"...sottointegrali) ottengo che l'integrale originale si puo scrivere come la somma di due "sottointegrali":
$\int_(1/e)^1$ + $\int_(1)^(2e)$ dove nel primo il logaritmo (cio che è nel modulo) è negativo, mentre nel secondo è positivo.
detto questo abbiamo:
(*) $\int_(1/e)^(1)(x(-log(x)))dx$ + (*) $\int_(1)^(2e)(x(log(x)))dx$
per cui considerando l'integrale indefinito prima calcolato otteniamo:
$-[(log1(1/2)-log(1/e)((1/e)^2/2))-(1/4-(1/e)^2/4)]$ => $log(e^(-1))e^(-2)/2 + 1/4 - e^(-2)/4$
$(log(2e)(2e)^2/2)-(4e^2/4-1/4)$ => $(log(2e)(2e)^2/2)-(e^2-1/4)$
ma sommando i due risultati ottengo $e^2(log(2e)^2-1)-(3/4)e^(-2)+1/2$ che è leggermente differente dal risultato esatto...
dove sbaglio??
GRAZIE!! ciao...
Risposte
Proprietà fondamentale dei logaritmi:
$log(a*b)=loga+logb$
Credi ti possa servire?
$log(a*b)=loga+logb$
Credi ti possa servire?
"K.Lomax":
Proprietà fondamentale dei logaritmi:
$log(a*b)=loga+logb$
Credi ti possa servire?
divido il logaritmo $2log(2e)$ in $2log2+2loge$ dove $log(e)=1$ e quindi ottengo 2log2+2 che sommato a -1 mi da la forma desiderata
OK OK....sono ufficialmente un CO.....NIGLIO!!!!! che figuraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!
grazie KiloKAL....ehm...cioè....KiloMax....
yeah 
@ mikelozzo: rendersi conto di essere un co...niglio, come dici tu, è un bene! Alla fine, sono queste le cose che ti portano a capire cosa fare negli esercizi! Quindi non la prenderei a male, anzi... 
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