$int_0^(+infty)f(x)$

[Flamber]

Innanzitutto rigrazio chiunque mi voglia aiutare, perchè come vedrete l'esercizio è un po' lungo, ma vedrò di riassumerlo nei passaggi principali.

$int_0^(+infty)(9x+8)/((x+2)(x^2+1))$

Scrivo (9x+8)/((x+2)(x^2+1)) come $-2/(x+2)+(2x+5)/(x^2+1)$ facendo l'addizione si vede come la fattorizzazione sia corretta.

$int_0^(+infty)(9x+8)/((x+2)(x^2+1))$ $=$ $-2int_0^(+infty)1/(x+2)+int_0^(+infty) (2x)/(x^2+1)+5 int_0^(+infty) 1/(x^2+1) =$

$= -2lim_(c->+infty)int_0^(c)1/(x+2)+lim_(c->+infty)int_0^(c) (2x)/(x^2+1)+5 lim_(c->+infty)int_0^(c) 1/(x^2+1)=$

$= -2 lim_(c->+infty) [ln|x+2|]_0^c+lim_(c->+infty)[ln(x^2+1)]_0^c+5lim_(c->+infty)[arctanx]_0^c=$ tolgo il valore assoluto perchè c+2 è sicuramente positivo

$= -2 lim_(c->+infty) [ln(c+2)-ln(2)]+lim_(c->+infty)[ln(c^2+1)-ln1]+5/2π=$

calcolata così verrebbe una forma indetermnata $+infty-infty$ allora provo ad unire i due limiti per vedere se viene fuori qualcosa , ma probabilmente commetto un errore con quel $-2$ che sta fuori dal limite (devodire che mi è venuto in mente mentre lo sto riscrivendo)


$= -2 lim_(c->+infty) {[ln(c+2)-ln(2)]+[ln(c^2+1)-ln1]}+5/2π= -infty$

la soluzione dovrebbe essere $2ln+5/2π$, e probabilmente penso di aver capito dove sbaglio, cioè proprio con quel 2, che portato nel limite fa diventare al quarato il logaritmo, e venendo $ln1$ lo porta a 0, e rimane solo $2ln+5/2π$ ma vorrei una conferma

[Flamber]

anche se onestamente non mi sembra così sbagliato, perchè -2 dovrei poterlo lasciare fuori :S

[Noisemaker]

devi calcolare questo limite in realtà

\begin{align}\left(\lim_{k\to+\infty} \ln(x^2+1)-2\ln(x+2)+5\arctan x\right)-(-2\ln 2)&=\lim_{k\to+\infty} \ln\left(\frac{x^2+1}{(x+2)^2}\right) +\arctan x+\ln4 \\\
&\sim\lim_{k\to+\infty} \ln\left(\frac{x^2 }{x^2}\right)+\frac{5\pi}{2}+\ln 4=\frac{5\pi}{2}+\ln 4\end{align}