$\int_0^inftyarctg((t^2 + 1 )/ (t^3 + 3t + 1))$

[marina091]

qualcuno sa come si risolve quest'integrale?

$\int_0^inftyarctg((t^2 + 1 )/ (t^3 + 3t + 1))$

[maurer]

La funzione integranda è infinitesima per $t \to + \infty$ ed è positiva; dall'equivalenza locale $arctan(x) sim_0 x$ si deduce che l'ordine di infinitesimo della funzione integranda rispetto al campione $1/x$ è 1, cioè tende a zero come $1/x$; visto che l'integrale improprio di $1/x$ diverge, allora divergerà anche il tuo integrale improprio...

[_Tipper]

L'integrale equivale a $\int_0^1 "arctg"(\frac{t^2 + 1}{t^3 + 3t + 1}) dt + \int_1^{+\infty} "arctg"(\frac{t^2 + 1}{t^3 + 3t + 1}) dt$.

Per il primo non ci son problemi, per il secondo puoi osservare che per $t \to +\infty$, risulta

$"arctg"(\frac{t^2 + 1}{t^3 + 3t + 1}) \sim \frac{t^2 + 1}{t^3 + 3t + 1} \sim \frac{1}{t}$

[simos_89]

"marina09":qualcuno sa come si risolve quest'integrale?

$\int_0^inftyarctg((t^2 + 1 )/ (t^3 + 3t + 1))$

Beh innanzitutto penso ke sia da integrare in $dt$...comunque quello dentro l'arcotangente lo potresti scrivere come $(3t^2 + 3*1 )/(3 (t^3 + 3t + 1))$ così hai sopra la derivata di quello di sotto (ke ricorda la derivata di $1/3 ln (t^3 + 3t + 1)$)

[Lord K]

Si procede per parti usualmente con integrali simili, infatti:

$int_0^(+oo) arctg[(t^2+1)/(t^3+3t+1)] dt = {t*arctg[(t^2+1)/(t^3+3t+1)]}_0^(+oo) - int_0^(+oo) t*1/{1+[(t^2+1)/(t^3+3t+1)]^2}*d/dt[(t^2+1)/(t^3+3t+1)]dt =$
$={t*arctg[(t^2+1)/(t^3+3t+1)]}_0^(+oo)-int_0^(+oo) (t*(t^3+3t+1)^2)/(1+(t^2+1)^2)*(2t*(t^3+3t+1)-(3t^2+3)*(t^2+1))/(t^3+3t+1)^4 dt =$
$= {t*arctg[(t^2+1)/(t^3+3t+1)]}_0^(+oo) - int_0^(+oo) (-t^5+2t^2-3t)/{[1+(t^2+1)^2]*(t^3+3t+1)^2}dt$

e da qui solo con l'ultima parte:

$int_0^(+oo) (-t^5+2t^2-3t)/{[1+(t^2+1)^2]*(t^3+3t+1)^2}dt = int_0^(+oo) (At^3+Bt^2+Ct+D)/(1+(t^2+1)^2)dt + int_0^(+oo) (Et^5+Ft^4+Gt^3+Ht^2+It+J)/(t^3+3t+1)^2 dt

come si segue l'integrazione di frazioni (anche se prevedo $10^6$ conti).

Meglio la soluzione di Tipper.