Insiemistica - Problema

[AmarildoA]

Salve ragazzi,
Questo è l'esercizio proposto:
Posto $A = {x \in R: x = \frac{n+(-1)^n(n+1)}{n+1}, n \in N}$, dire quale delle seguenti affermazioni è $\color{red}{vera}$:
1 - L'insieme A ha un numero finito di punti di frontiera
2 - L'insieme A ha un numero non finito di punti interni
3 - L'insieme A ha un numero non finito di punti di accumulazione
4 - L'insieme A ha un numero finito di punti di accumulazione

Io solitamente in questo tipo di esercizi vado ad inserire i primi valori di $N$, per rendermi conto dell'andamento della successione nei primi numeri naturali.
In questo caso sono giunto alla conclusione che è limitata in $(0,2)$(non so se è giusto).
(penso che quella giusta sia la 4) con 2 punti di accumulazione, ovvero $0$ e $2$.

Potete indirizzarmi verso la soluzione, è mostrarmi un altro metodo per valutare/risolvere questo tipo di problemi di insiemistica (se c'è)? Grazie Mille

[Sk_Anonymous]

"AmarildoA":[...] In questo caso sono giunto alla conclusione che è limitata in $(0,2)$(non so se è giusto). [...]

Non sono d'accordo: posto \[a_n = \frac{n + (-1)^n (n+1)}{n+1} \]si ha che \[a_1 = \frac{1 + (-1) \cdot (1 +1)}{1+1} = \frac{1-2}{2} = -\frac{1}{2} \notin (0,2).\]In effetti \(\lim_{k \to \infty} a_{2k} = 2 \) e che \(\lim_{k \to \infty} a_{2k+1} = 0 \) (essendo \(2 \notin A, \ \partial A = \varnothing\)), e mi pare che non ci siano altri punti di accumulazione, quindi direi che la tua soluzione è corretta, anche se non hai esposto il ragionamento che hai seguito per arrivarci. Non vi sono strade preferenziali, devi affidarti all'intuizione; provare con i primi valori di \(\mathbb{N}\) è comunque un buon inizio.

[AmarildoA]

Grazie mille