Insiemistica

[tommy_2222]

se A è contenuto o coincide con B e B è contenuto o coincide con C come si fa a dimostrare che
(C-B)U(B-A)=C-A ?

Con i diagrammi è intuitivo ma ci sono dei passaggi logici tali che si possa arrivare a C-A?

[laura1232]

Il testo del problema è

se
$A\subseteq B\ \ \ (1)$
e
$B\subseteq C\ \ \ (2)$
allora $$(C-B)\cup(B-A)=C-A$$

Essendo un'uguaglianza insiemistica, proveremo la validità della doppia inclusione:
1. Proviamo prima che $(C-B)\cup(B-A)\subseteq C-A$:
Se $x\in (C-B)\cup(B-A)$ allora
$x\in C-B\ \ \ (3) $
oppure
$x\in B-A\ \ \ (4)$
dalla (3) segue $x\in C$ e $x\notin B$ ma da questa e dalla (1) segue $x\notin A$ allora $x\in C-A$
dalla (4) segue $x\in B$ e $x\notin A$ da queste e dalla (2) segue $x\in C-A$.
2. Proviamo adesso l'inclusione inversa cioè $C-A\subseteq (C-B)\cup(B-A)$:
se $x \in C-A$ allora $x\in C$ ma $x\notin A$; dalla (2) segue:
$x\in C-B\ \ \ (5)$
oppure
$x\in B\ \ \ (6)$
Dalla (5) segue che $x\in (C-B)\cup(B-A)$
dalla (6) e da $x\notin A$ segue $x\in B-A$ allora $x\in (C-B)\cup(B-A)$.

[tommy_2222]

ottimo, grazie!