Insiemi + sup e inf

[jestripa-votailprof]

Come si trovano gli estremi sup e inf dell'insieme:
E=(x|=(2n+3)/5n ,n appartiene a N*)
dove per N* si intende l'insieme dei num nat diversi da zero

Questo è un esercizio che il libro svolge in una maniera che non capisco,tenete conto che si trova nel primo cap del libro di analisi,quindi sono ancora estranei i concetti di limite e successioni....

[Sk_Anonymous]

Parti da $x=(2n+3)/(5n)=(2n)/(5n)+3/(5n)=2/5+3/(5n)$ non serve aver studiato le successioni per rendersi conto che più piccolo è il valore di n e maggiore è il valore di $3/(5n)$, quindi il massimo valore di $xinE) si otterrà per n=1, e varrà x=1, che essendo massimo è anche estremo superiore.
Più complesso è il problema per il calcolo dell'estremo inferiore che non è minimo.
Sempre dalla forma precedente puoi supporre che l'Estemo Inferiore sia $2/5$, devi però dimostrare 2 cose
1) che $2/5$ è una limitazione inferiore, ovvero ogni elemento di E è maggiore di $2/5$,

$(2n+3)/(5n)>2/5$ che dà una disequazione sempre verificata

2) che $2/5$ e la più grande delle limitazioni inferiori, ovvero che preso un qualunque numero maggiore di $2/5$, c'è almeno un elemento di E che è minore
$(2n+3)/(5n)<2/5+epsilon$, che ammette come risultato $n>3/(5 epsilon)$ e poichè l'insieme dei numeri naturali non ha limitazioni superiori, hai verificato anche questa condizione

Per scrupolo puoi anche verificare che $2/5 !in E$, per questo basta porre $(2n+3)/(5n)=2/5$ e ottieni un'equazione impossibile.

[Ingegnerepersbaglio]

$x=(2n+3)/(5n)$............ sai che ti dico?! Anche se non vorrei fare una brutta figura.... Io lo vedrei proprio come Amelia.... cioè come $x=2/5+3/(5n)$ e considerando il fatto che lavoro in $N$ dico che $Inf=2/5$ quando n tende ad infinito e ti porta $3/5$ a zero mentre $Sup=2/5+3/5=1$ quando n vale proprio 1..... Spero di non aver preso una grossa cantonata ....Ciao