Insiemi misurabili secondo Lebesgue.
Salve a tutti,
sto studiando la misura esterna di Lebesgue di un unisieme E definita come l'inf dell'insieme della somma delle lunghezze di una successione di intervalli aperti t.c. che ricoprono E.
Ora si definisca l'insieme E misurabile secondo Lebesgue come per ogni insieme A di R la misura esterna di A coincide con la misura esterna di A intersezione E più la misura esterna di A intersezione il complmentare di E.
Il mio obiettivo è quello di provare che ogni insieme E aperto o chiuso è misurabili.
Una volta dimostrato che ogni insieme aperto è misurabile è banale dimostrare che ogni insieme chiuso è misurabile.
Quindi mi resta da dimostrare che ogni insieme aperto è misurabile.
Io parto dalla definizione di insieme E di R aperto; cioè per ogni elemento di E esiste un intervallo aperto contenuto in E
So che ogni intervallo aperto è misurabile quindi uso la definizione di insieme misurabile per un intervallo aperto, uso la proprietà di monotonia, il complementare dell'intervallo aperto...ma poi non riesco a concludere.
Ho anche pensato di considerare una successione di intervalli aperti che ricopre l'insieme E e usare la proprietà di subadditività... ma anche qui una volta applicata la suddetta proprietà non riesco ad andare oltre...
Grazie a tutti coloro che mi risponderanno, apprezzo anche una piccola idea o un piccolo suggerimento.
sto studiando la misura esterna di Lebesgue di un unisieme E definita come l'inf dell'insieme della somma delle lunghezze di una successione di intervalli aperti t.c. che ricoprono E.
Ora si definisca l'insieme E misurabile secondo Lebesgue come per ogni insieme A di R la misura esterna di A coincide con la misura esterna di A intersezione E più la misura esterna di A intersezione il complmentare di E.
Il mio obiettivo è quello di provare che ogni insieme E aperto o chiuso è misurabili.
Una volta dimostrato che ogni insieme aperto è misurabile è banale dimostrare che ogni insieme chiuso è misurabile.
Quindi mi resta da dimostrare che ogni insieme aperto è misurabile.
Io parto dalla definizione di insieme E di R aperto; cioè per ogni elemento di E esiste un intervallo aperto contenuto in E
So che ogni intervallo aperto è misurabile quindi uso la definizione di insieme misurabile per un intervallo aperto, uso la proprietà di monotonia, il complementare dell'intervallo aperto...ma poi non riesco a concludere.
Ho anche pensato di considerare una successione di intervalli aperti che ricopre l'insieme E e usare la proprietà di subadditività... ma anche qui una volta applicata la suddetta proprietà non riesco ad andare oltre...
Grazie a tutti coloro che mi risponderanno, apprezzo anche una piccola idea o un piccolo suggerimento.
Risposte
Suggerimento:
Se sai che ogni intervallo aperto é misurabile, sapendo che R é uno spazio metrico separabile prendendo come sottoinsieme denso l'insieme dei razionali, allora puoi prendere la base numerabile costituita da tutti gli intervalli aperti(segmenti) centrati in qualche razionale con raggio razionale, ogni aperto della retta é quindi al piú un unione numerabile di elementi della base, ergo data la proprietá della misura hai la tesi.
Definizioni:
Uno spazio metrico X si dice separabile, quando contiente un sottoinsieme denso numerabile.
Un sottoinsieme proprio A di X(spazio metrico) si dice denso in X quando ogni punto di X é un punto di A o di accumulazione per A o entrambi.
Se sai che ogni intervallo aperto é misurabile, sapendo che R é uno spazio metrico separabile prendendo come sottoinsieme denso l'insieme dei razionali, allora puoi prendere la base numerabile costituita da tutti gli intervalli aperti(segmenti) centrati in qualche razionale con raggio razionale, ogni aperto della retta é quindi al piú un unione numerabile di elementi della base, ergo data la proprietá della misura hai la tesi.
Definizioni:
Uno spazio metrico X si dice separabile, quando contiente un sottoinsieme denso numerabile.
Un sottoinsieme proprio A di X(spazio metrico) si dice denso in X quando ogni punto di X é un punto di A o di accumulazione per A o entrambi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo