Insiemi invarianti per un sistema di equazioni differenziali

[stelladinatale1]

Se ho un sistema di equazioni differenziali come posso dimostrare che un dato insieme è invariante per il mio sistema senza conoscere la soluzione del sistema?
Per esempio se ho il sistema:
$x'=y$
$y'= -ay^3-6x$
come faccio a dimostrare che gli insiemi del piano delle fasi {(x,y) : $3x^2+1/2y^2<=A^2$}
sono insiemi invarianti per ogni $a>=0$?


Grazie a tutti.[/tex][/code][/quote]

[Rigel1]

Considera la funzione $E(x,y) = 3x^2 + \frac{1}{2} y^2$.
Sia $(x(t), y(t))$ una traiettoria del tuo sistema. Avrai che
$\frac{d}{dt} E(x(t), y(t)) = \nabla E \cdot (x', y') = (6x, y) \cdot (y, -ay^3-6x) = - a y^4 \le 0$.
Questo ti dice che la funzione composta $t\mapsto E(x(t), y(t))$ è monotona decrescente; in particolare, se parti al tempo $t=0$ da un punto che sta nel tuo insieme, avrai che $E(x(t), y(t)) \le E(x(0), y(0))\le A^2$ per ogni $t\ge 0$, quindi tutta la traiettoria (per tempi positivi) sta nell'insieme.

[stelladinatale1]

"Rigel":Considera la funzione $E(x,y) = 3x^2 + \frac{1}{2} y^2$.
Sia $(x(t), y(t))$ una traiettoria del tuo sistema. Avrai che
$\frac{d}{dt} E(x(t), y(t)) = \nabla E \cdot (x', y') = (6x, y) \cdot (y, -ay^3-6x) = - a y^4 \le 0$.
Questo ti dice che la funzione composta $t\mapsto E(x(t), y(t))$ è monotona decrescente; in particolare, se parti al tempo $t=0$ da un punto che sta nel tuo insieme, avrai che $E(x(t), y(t)) \le E(x(0), y(0))\le A^2$ per ogni $t\ge 0$, quindi tutta la traiettoria (per tempi positivi) sta nell'insieme.

Grazie mille sei stato chiarissimo!