Insiemi e intersezioni, due dubbi

[CLaudio Nine]

Ciao!

Avrei due domande per voi...

Dati 5 insiemi $A, B, C, D, E $

1) È corretto dire che

$(A uu B uu C) nn (D uu E) = (A nn D) uu ( A nn E) uu (B nn D) uu (B nn E) uu (C nn D) uu (C nn E) $

?

Oppure ho commesso un errore?

2) dato un gruppo di insiemi qualsiasi, (ad esempio $A, B, C, D, E $), è vero che l'intersezione delle unioni è un insieme che contiene l'unione delle intersezioni?

[ghira1]

"CLaudio Nine":
2) dato un gruppo di insiemi qualsiasi, (ad esempio $A, B, C, D, E $), è vero che l'intersezione delle unioni è un insieme che contiene l'unione delle intersezioni?

Quali sono "le unioni" e "le intersezioni"? $A\cap B\cap C\cap D \cap E$ è una delle "intersezioni", per esempio?

[Quinzio]

1) Valgono le:
$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$
$$ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$
rif: https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_o ... et_algebra

Quindi ? Hai commesso un errore ?

2) Cosi' com'e' la tua domanda e' ambigua.
Definisci meglio i termini "le unioni" e "le intersezioni" che compaiono nella tua domanda. O scrivi una affermazione in simboli matematici che e' molto meglio.

[CLaudio Nine]

"Quinzio":1) Valgono le:
$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$
$$ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$
rif: https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_o ... et_algebra

Quindi ? Hai commesso un errore ?

Direi di no!

"Quinzio":
2) Cosi' com'e' la tua domanda e' ambigua.
Definisci meglio i termini "le unioni" e "le intersezioni" che compaiono nella tua domanda. O scrivi una affermazione in simboli matematici che e' molto meglio.

Ok, definisco meglio.

Dati $N+1$ insiemi $E_k$:

Unione delle intersezioni $rarr U_N = uu_(n=0)^N nn_(k=n)^N E_k $

Intersezione delle unioni $rarr I_N = nn_(n=0)^N uu_(k=n)^N E_k $

Se avessi infiniti insiemi:

Unione delle intersezioni $rarr U_oo = uu_(n=0)^oo nn_(k=n)^oo E_k $

Intersezione delle unioni $rarr I_oo = nn_(n=0)^oo uu_(k=n)^oo E_k $

Ora, tornando alla seconda domanda

2) dato un gruppo di insiemi qualsiasi, è vero che l'intersezione delle unioni è un insieme che contiene l'unione delle intersezioni?

[Quinzio]

\[ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \]

"CLaudio Nine":

Direi di no!

Ok

"Quinzio":
2) Cosi' com'e' la tua domanda e' ambigua.
Definisci meglio i termini "le unioni" e "le intersezioni" che compaiono nella tua domanda. O scrivi una affermazione in simboli matematici che e' molto meglio.

Ok, definisco meglio.

Dati $N+1$ insiemi $E_k$:

Unione delle intersezioni $rarr U_N = uu_(n=0)^N nn_(k=n)^N E_k $

Intersezione delle unioni $rarr I_N = nn_(n=0)^N uu_(k=n)^N E_k $

2) dato un gruppo di insiemi qualsiasi, è vero che l'intersezione delle unioni è un insieme che contiene l'unione delle intersezioni?

Ipotizziamo 3 insiemi $A, B, C$
Quello che dici e'
$$ (A \cap B \cap C) \cup (B \cap C) \cup C \subset (A \cup B \cup C) \cap (B \cup C) \cap C$$

usando le absorption laws https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_o ... ersections

$$ (A \cap B \cap C) \cup C \subset (A \cup B \cup C) \cap C$$

$$ C \subset C$$

Si arriva a questo.

[CLaudio Nine]

e nel caso in cui io abbia infiniti insiemi secondo te può cambiare qualcosa?