Insiemi e funzioni
ciao a tutti ecco due bei esercizi (chiaramente è soggettivo):
1) trovare un insieme parzialmente ordinato tale che ammette un solo elemento minimale che non è minimo.
2) trovare una funzione di variabile reale continua in un sol punto e discontinua ovunque
2bis) trovare una funzione di variabile reale continua e derivabile in un sol punto e non continua ovunque.
capisco bene che possono sembrare semplici..
ciao a tutti e a presto
1) trovare un insieme parzialmente ordinato tale che ammette un solo elemento minimale che non è minimo.
2) trovare una funzione di variabile reale continua in un sol punto e discontinua ovunque
2bis) trovare una funzione di variabile reale continua e derivabile in un sol punto e non continua ovunque.
capisco bene che possono sembrare semplici..
ciao a tutti e a presto
Risposte
2) $f(x)=xd(x)$, dove $d$ è la funzione di Dirichlet.
si il 2 era effettivamente abbastanza semplice 
Insieme parzialmente ordinato e elemento minimale? 
graz
graz
insieme parzialmente ordinato vuol dire che è difinita una relazione $R$ tale che:
- $R$ nonè mai riflessiva
-$R$ è transitiva.
$a$ si dice elemento minimale di un insieme $X$ se $AAx in X$ si ha che $!(xRa)$
dove con $!$ intendo la negazione.
- $R$ nonè mai riflessiva
-$R$ è transitiva.
$a$ si dice elemento minimale di un insieme $X$ se $AAx in X$ si ha che $!(xRa)$
dove con $!$ intendo la negazione.
"miuemia":
insieme parzialmente ordinato vuol dire che è difinita una relazione $R$ tale che:
- $R$ nonè mai riflessiva
-$R$ è transitiva.
$a$ si dice elemento minimale di un insieme $X$ se $AAx in X$ si ha che $!(xRa)$
dove con $!$ intendo la negazione.
Grazie
Allora provo la 1).
Sia $X={0, 2^n$ tc $ninNN}$
Definiamo una relazione su $X$ come
$xRy<=>y/x in X\\{1}$
-transitività: $xRy$ e $yRz$, cioè $y/x=a$ e $z/y=b$ con $a,b in X$; si ha:
$y=ax$ e $z=by$ cioè $z=abx$ cioè $z/x=ab$ cioè $xRz$. Ovviamente vale che se $a,b in X =>ab in X$
-non riflessività: $xRy => !(yRx)$
$x$ sarà della forma $2^n$ e $y$ della forma $2^m$ con $m>n$. Allora $yRx$ vuol dire ${2^n}/{2^m}=2^{n-m}inX$ con $m>n$. Il che è impossibile perchè sarebbe $1/2^kinX$con$kinNN$. Quindi $xRy => !(yRx)$.
Le condizioni della relazione sono ok. Vediamo per il minimale:
$AAx inX\\{1}$ si ha che $1Rx$.. Quindi nessun elemento al di fuori di $1$ potrebbe essere l'elemento minimale. Vediamo se $1$ può essere quello che cerchiamo..
$AAx inX$ si ha che $!(xR1)$ perchè $1/x$ o non appartiene a $X$ o è uguale a $1$, e quindi la condizione della relazione della relazione non è soddisfatta. Non è il minimo dell'insieme, perchè $0<1$...
Da notare che $[0]$ è l'insieme vuoto...
Che ne dici? Può andare?
ciao
non capisco perchè questa sarebbe la proprietà di mai riflessiva..
per far vedere che non è riflessiva devi far vedre che $!(xRx)$
o no???
-non riflessività: $xRy => !(yRx)$
per far vedere che non è riflessiva devi far vedre che $!(xRx)$
o no???
Hai ragione...Ma guardando dovrebbe essere ok lo stesso.. $x/x=1!in X\\{1}$ e $0/0$ non fa testo...
in teoria va lo stesso..
non mi convince quel $0/0$ perchè non fa testo???
"miuemia":
non mi convince quel $0/0$ perchè non fa testo???
Bhè $[0]={x in X$ tc $0Rx}={x inX$ tc$ x/0inX\\{1}}$ è evidente che quello è l'insieme vuoto..quindi $!(0R0)$...
giusto esatto... si può andare per me... l'idea è quella giusta di definire una relazione escluso l 'elemento che vuoi minimale ma non minimo...
allora risolto il primo che era il più "difficile"... ti lascio il 2bis) visto che il 2 l ha già risolto luca...
mooolto semplice il 2bis))
allora risolto il primo che era il più "difficile"... ti lascio il 2bis) visto che il 2 l ha già risolto luca...
mooolto semplice il 2bis))
Dire che non mi intendo di funzioni di Dirichlet rispecchia perfettamente la situazione
no vabbè la funzione di dirichelet è la funzione caratteristica dei razionali...
comunque si può fare anche senza...
comunque si può fare anche senza...
"miuemia":
1) trovare un insieme parzialmente ordinato tale che ammette un solo elemento minimale che non è minimo.
L'esempio di Ravok usa un insieme infinito.
E allora "rilancio": questo insieme può essere finito?
eh bella domanda... se pensiamo ai numeri naturali questo non cedo sia possibile per il principio del minimo.. però per altri inisemi ci devo pensare
mi è sorto un dubbio...
quando ravok dici
ma arrivi alla conclusione sfrutttando un'altra relazione d'ordine quella del $<$ ma un elemento m è minimo se
per ogni elemento dell'insieme tale che $x!=m$ allora $mRx$...
ma con zero non funziona o no???
quando ravok dici
$AAx inX$ si ha che $!(xR1)$ perchè $1/x$ o non appartiene a $X$ o è uguale a $1$, e quindi la condizione della relazione della relazione non è soddisfatta. Non è il minimo dell'insieme, perchè $0<1$..
ma arrivi alla conclusione sfrutttando un'altra relazione d'ordine quella del $<$ ma un elemento m è minimo se
per ogni elemento dell'insieme tale che $x!=m$ allora $mRx$...
ma con zero non funziona o no???
"Fioravante Patrone":
L'esempio di Ravok usa un insieme infinito.
E allora "rilancio": questo insieme può essere finito?
Certo.
Prendiamo un campo finito e ci mettiamo la relazione di cui sopra.
Ad esempio prendiamo il campo
$E={0,1,alpha, alpha^2, 1+alpha,1+alpha^2, alpha+alpha^2, 1+alpha+alpha^2}$ dove $alpha$ è soluzione del polinomio $f[x]=x^3+x+1inF_2[x]$ e $F_2={0,1}$.
Cioè $E$ è il campo di spezzamento di $f$ su $F_2$.
L'insieme è finito, contiene lo $0$, l'$1$ e è chiuso rispetto al prodotto in particolare, che è quello che ci serve per la nostra relazione.
Se non ho preso abbagli funziona, no?
ciao
scusa ravok ma quando dici che $0<1$ non stai sfruttando una relazione diversa da quella che hai definito???
"miuemia":
scusa ravok ma quando dici che $0<1$ non stai sfruttando una relazione diversa da quella che hai definito???
mah..minimo per me vuol dire minimo nel senso della maestra elementare..
altrimenti tu chiedi se esista un elemento $m$ tale per cui $AAx$ del nostro insieme $xRm$ e anche $!(xRm)$...
no non chiedo che $xRm$ ma semmai è il viceversa...
$AA x!=m=>mRx$ che è diverso.
e in questo caso il minimo devi calcolarlo secondo questa relazione non secondo un'altra relazione.
$AA x!=m=>mRx$ che è diverso.
e in questo caso il minimo devi calcolarlo secondo questa relazione non secondo un'altra relazione.
Chiedo scusa ma l'esempio di insieme finito non va bene... meglio che lascio stare per un pò...
@miuemia:
ci devo pensare...
@miuemia:
ci devo pensare...
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