Insiemi di definizione - Trigonometria
Ragazzi ho un dubbio sugli insiemi di definizione in campo trigonometrico. Precisamente quando incontro un elemento di trigonometria al denominatore.
Ad esempio, in un esercizio c'è l'arcocoseno al denominatore:
$arccossqrt(1 - x) + x$
Ora, ho posto tutto l'arcocoseno diverso da zero e l'arcocoseno è zero in $pi/2$.
Ma se pongo l'arcocoseno con il relativo argomento diverso da $pi/2$, poi come possono muovermi nei numeri reali per poi metterli sulla retta finale?
Ad esempio, in un esercizio c'è l'arcocoseno al denominatore:
$arccossqrt(1 - x) + x$
Ora, ho posto tutto l'arcocoseno diverso da zero e l'arcocoseno è zero in $pi/2$.
Ma se pongo l'arcocoseno con il relativo argomento diverso da $pi/2$, poi come possono muovermi nei numeri reali per poi metterli sulla retta finale?
Risposte
Se la funzione è questa
$f(x) = 1/(arccos (sqrt(1-x) + x ))$
hai da verificare due cose:
1°) l'arcocoseno non deve essere nullo
2°) ricordarsi dove l'arcocoseno è definito
$f(x) = 1/(arccos (sqrt(1-x) + x ))$
hai da verificare due cose:
1°) l'arcocoseno non deve essere nullo
2°) ricordarsi dove l'arcocoseno è definito
L'arcoseno è zero in $pi/2$ e definito tra $-1$ e $1$. Giusto?
Giusto.
Quindi $f(x)=1/(arccos(sqrt(1-x)+x))$ dove è definita?
Quindi $f(x)=1/(arccos(sqrt(1-x)+x))$ dove è definita?
Direi che è definita nell'insieme di definizione eccetto $pi/2$.
Facendo i svariati calcoli alla fine viene:
$-3 <= x <= 0$
$x <= 0$ $U$ $x >= 1$
$x <= 1$
Intereseco ed all'insieme di soluzioni risultante sottraggo $pi/2$ non periodico in quanto è arcocoseno.
Ma quando individuo il punto in cui l'arcocoseno si annulla, non devo lavorare anche sull'argomento?
Cioè, oltre a porre l'argomento tra $-1$ e $1$ e metterlo a sistema, non devo fare nient'altro nel punto d'annullamento del denominatore?
Facendo i svariati calcoli alla fine viene:
$-3 <= x <= 0$
$x <= 0$ $U$ $x >= 1$
$x <= 1$
Intereseco ed all'insieme di soluzioni risultante sottraggo $pi/2$ non periodico in quanto è arcocoseno.
Ma quando individuo il punto in cui l'arcocoseno si annulla, non devo lavorare anche sull'argomento?
Cioè, oltre a porre l'argomento tra $-1$ e $1$ e metterlo a sistema, non devo fare nient'altro nel punto d'annullamento del denominatore?
Ehm... se affermi che $x<=1$, allora $pi/2$ di per sé è già fuori dal dominio...
Comunque non ho capito: qual è l'insieme di definizione di $f(x)$?
EDIT: lo studio del dominio altro non è che lo studio di un sistema: basta saper cosa mettere dentro il sistema.
Il "sistema di $f(x)$" qui comprende 3 relazioni:
*l'arcocoseno è compreso tra $0$ e $pi$ $=>$ l'argomento dell'arcocoseno deve essere compreso tra $-1$ e $1$;
*l'arcocoseno non deve annullarsi $=>$ l'argomento dell'arcocoseno deve essere $ne 1$;
*l'argomento della radice deve essere positivo.
Il sistema allora è:
\(\displaystyle \begin{cases} -1 \le \sqrt{1-x}+x \le 1 \\ \sqrt{1-x}+x \ne 1 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}\)
Comunque non ho capito: qual è l'insieme di definizione di $f(x)$?
EDIT: lo studio del dominio altro non è che lo studio di un sistema: basta saper cosa mettere dentro il sistema.
Il "sistema di $f(x)$" qui comprende 3 relazioni:
*l'arcocoseno è compreso tra $0$ e $pi$ $=>$ l'argomento dell'arcocoseno deve essere compreso tra $-1$ e $1$;
*l'arcocoseno non deve annullarsi $=>$ l'argomento dell'arcocoseno deve essere $ne 1$;
*l'argomento della radice deve essere positivo.
Il sistema allora è:
\(\displaystyle \begin{cases} -1 \le \sqrt{1-x}+x \le 1 \\ \sqrt{1-x}+x \ne 1 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}\)
Ah ecco, io il secondo punto del sistema lo ponevo diverso da zero, non da uno.
Mi trovo, posso farti una domanda?
So che l'arcoseno è una restrizione del seno ed è il suo inverso. Ma quando trovo l'arcoseno ( ma anche l'arcocoseno o l'arcotangente/cotangente ) in radianti, i valori della x sono gli stessi valori di seno, coseno, tangente e cotangente ?
Cioè se trovo l'arcoseno a $pi$, la x dell'arcoseno vale 1 come il seno a $pi$ ?
Edit.
Sto risolvendo il sistema, mi trovo alla fine:
$-3 <= x <= 0$
$x <= 0 U x => 1$
$x != 0 U x != 1$
$x <= 1$
Dal momento in cui per un punto del sistema so che la x deve essere diversa da 0 e da 1, quando vado a mettere sul grafico metto minore o comunque minore uguale in quei due punti? Perchè c'è un contrasto tra penultimo ed ultimo elemento del sistema.
Mi trovo, posso farti una domanda?
So che l'arcoseno è una restrizione del seno ed è il suo inverso. Ma quando trovo l'arcoseno ( ma anche l'arcocoseno o l'arcotangente/cotangente ) in radianti, i valori della x sono gli stessi valori di seno, coseno, tangente e cotangente ?
Cioè se trovo l'arcoseno a $pi$, la x dell'arcoseno vale 1 come il seno a $pi$ ?
Edit.
Sto risolvendo il sistema, mi trovo alla fine:
$-3 <= x <= 0$
$x <= 0 U x => 1$
$x != 0 U x != 1$
$x <= 1$
Dal momento in cui per un punto del sistema so che la x deve essere diversa da 0 e da 1, quando vado a mettere sul grafico metto minore o comunque minore uguale in quei due punti? Perchè c'è un contrasto tra penultimo ed ultimo elemento del sistema.
"Mr.Mazzarr":
Ma quando trovo l'arcoseno ( ma anche l'arcocoseno o l'arcotangente/cotangente ) in radianti, i valori della x sono gli stessi valori di seno, coseno, tangente e cotangente ?
Non capisco la domanda: mi stai chiedendo se, nel caso $x$ sia espressa in radianti, il suo arcoseno o altre funzioni trigonometriche sono espresse in radianti?
Il valore che si ottiene dalle funzioni trigonometriche dipende certo da come è espresso l'argomento: ad esempio
in radianti
$sin(45) approx 0.85$
in gradi sessagesimali
$sin(45°) = sqrt2/2$
in gradi centesimali
$sin(45 text( grad)) approx 0.65$
"Mr.Mazzarr":
Cioè se trovo l'arcoseno a $pi$, la x dell'arcoseno vale 1 come il seno a $pi$ ?
L'arcoseno a $pi$ che vuol dire?!
\(\displaystyle \color{red}{\arcsin(\pi)=\text{non esiste}} \)
\(\displaystyle \color{red}{\arcsin(x)=\pi \text{ impossibile}} \)
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