Insiemi di definizione
Vorrei un chiarimento sul dominio di funzione potenza ed esponenziale.
In pratica la funzione potenza può avere esponente intero, razionale o reale, nei primi due casi il dominio è R\{0} mentre nel caso di esponente reale è x >0 giusto ?
Nel caso della funzione esponenziale invece la base è definita sempre e solo per x>0 per non incorrere in casi come $-8^(2/6)$
Altra domanda
--> $\pi^{\pi}$ in quale caso rientra ?
Grazie mille in aticipo
In pratica la funzione potenza può avere esponente intero, razionale o reale, nei primi due casi il dominio è R\{0} mentre nel caso di esponente reale è x >0 giusto ?
Nel caso della funzione esponenziale invece la base è definita sempre e solo per x>0 per non incorrere in casi come $-8^(2/6)$
Altra domanda
--> $\pi^{\pi}$ in quale caso rientra ? Grazie mille in aticipo
Risposte
Potenza ad esponente reale e base positiva:
\( \pi^{\pi} = e^{\pi \log \pi} .\)
\( \pi^{\pi} = e^{\pi \log \pi} .\)
Rigel ma ha senso parlare di insieme di definizione di un numero?
Non mi sembra di aver parlato di insieme di definizione 
Comunque, si può vedere $\pi^{\pi}$ come $f(\pi)$, con $f:\RR\to\RR$ definita da $f(x) = \pi^x$.
In ogni caso, è sempre una potenza ad esponente reale con base positiva, che andrebbe definita come
\( \pi^{\pi} := \sup\{\pi^q:\ q\in \mathbb{Q}, q\leq \pi\}. \)
Comunque, si può vedere $\pi^{\pi}$ come $f(\pi)$, con $f:\RR\to\RR$ definita da $f(x) = \pi^x$.
In ogni caso, è sempre una potenza ad esponente reale con base positiva, che andrebbe definita come
\( \pi^{\pi} := \sup\{\pi^q:\ q\in \mathbb{Q}, q\leq \pi\}. \)
"Mrhaha":
Rigel ma ha senso parlare di insieme di definizione di un numero?
Ho fatto l'esempio con un numero ma parlavo delle funzioni esponenziali, in ogni caso è corretto quello che ho scritto su ?
No ma non era per criticare! Era una domanda che mi è venuta spontanea!
La questione delle potenze ad esponente reale è un ginepraio dovuto in buona parte a notazioni ambigue.
Ciò dipende dal fatto che, se \( q = m/n \in \mathbb{Q}\) è un numero razionale (con $m\in\ZZ$ e $n\in\NN^+$) si pone, per definizione
\( a^q := \sqrt[n]{a^m}, \qquad a>0 .\)
(Si intende che le radici $n$-esime siano già state definite; la costruzione è standard.)
Qui nasce il primo problema, poiché questa scrittura ha senso anche per $a< 0$ se $n$ è dispari, quindi una scrittura del tipo $a^{1/3}$ uno la pensa definita per $a\in\RR$.
Tuttavia, se hai $\beta\in\RR$, per definizione si pone
\( a^{\beta} := \sup \{a^q: q\in\mathbb{Q}, q\leq \beta\} . \)
Chiaramente questa scrittura ha senso solo per $a>0$, visto che devi fare l'estremo superiore su tutti i numeri razionali $\le \beta$, e non puoi sapere se questi hanno denominatore dispari!
Sarebbe dunque opportuno distinguere \( \sqrt[3]{a} \) e \( a^{1/3} \), riservando la seconda scrittura al solo caso $a > 0$.
D'altra parte è uso comune non distinguere le due scritture, quindi bisogna un po' arrangiarsi...
Comunque trovi sicuramente maggiori dettagli sul tuo libro o anche in precedenti post.
Ciò dipende dal fatto che, se \( q = m/n \in \mathbb{Q}\) è un numero razionale (con $m\in\ZZ$ e $n\in\NN^+$) si pone, per definizione
\( a^q := \sqrt[n]{a^m}, \qquad a>0 .\)
(Si intende che le radici $n$-esime siano già state definite; la costruzione è standard.)
Qui nasce il primo problema, poiché questa scrittura ha senso anche per $a< 0$ se $n$ è dispari, quindi una scrittura del tipo $a^{1/3}$ uno la pensa definita per $a\in\RR$.
Tuttavia, se hai $\beta\in\RR$, per definizione si pone
\( a^{\beta} := \sup \{a^q: q\in\mathbb{Q}, q\leq \beta\} . \)
Chiaramente questa scrittura ha senso solo per $a>0$, visto che devi fare l'estremo superiore su tutti i numeri razionali $\le \beta$, e non puoi sapere se questi hanno denominatore dispari!
Sarebbe dunque opportuno distinguere \( \sqrt[3]{a} \) e \( a^{1/3} \), riservando la seconda scrittura al solo caso $a > 0$.
D'altra parte è uso comune non distinguere le due scritture, quindi bisogna un po' arrangiarsi...
Comunque trovi sicuramente maggiori dettagli sul tuo libro o anche in precedenti post.
Grazie mille ! il problema è questo, non ho un libro di teoria, solo appunti. C'è qualche testo che potreste consigliarmi ?
Dipende dal corso che segui, dal tuo livello, etc.
Trovi un certo numero di indicazioni in "Leggiti questo!" (oppure posta lì la tua richiesta specificando le tue esigenze).
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ok grazie ancora 
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